Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
dp _ д2д' —дУ" —2д'3 + 4ад'д"
dp ~ Sa' (aa"-a2 — 2a'2) • (1.1U)
Взяв в качестве уравнения состояния материи равенство нулю давления (р = 0), получим из (1.9) известное решение
а = а0 (1 — cos ц) (1.11)
(а0 — постоянная), после чего из (1.1) получим t = (а0/с) (т] — — sin г]); этими двумя равенствами определяется в параметрическом виде зависимость радиуса а от времени. Для зависимости плотности р от времени при этом получается pa3 = const. На ранних стадиях (при малых временах t, т. е. при малых г\) мы имеем о ГРАВИТАЦИОННОЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАСШИРЯЮЩЕГОСЯ МИРА 365
дело с обратным предельным случаем весьма плотной материи, чему соответствует уравнение состояния р = р/3. Уравнения (1.9) дают в этом случае
a = b0 sin г] (1.12)
(Ь0 — другая постоянная), а для времени: t = (bjc) (1 — cos r\). Зависимость плотности от времени определяется при этом уравнением pa4 = const.
В открытой модели метрика определяется выражением ds2 = а2 ^ [_dr]2 + d%2 + gha х (sina е йф2 + (113)
Оно может быть формально получено из (1.2) заменой
a-*ia. (1.14)
Поэтому и все уравнения для открытой модели могут быть получены из уравнений для закрытой модели путем этой же подстановки. Зависимость радиуса кривизны от времени в открытой модели определяется при р = 0 уравнениями
a = a0(chT|-l), ? =-Sl (chT] — T|)f (1.15)
а при р = р/3 — уравнениями
a = Mhri, f =(chT| — l). (1.16)
§ 2. УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ
Всякое гравитационное возмущение может быть описано как малое изменение метрики. Соответственно этому наложение возмущения сводится к замене метрического тензора gik на gik + + бgih, гДе малые величины Sgik суть некоторые функции координат и времени (обозначения gik, Rik и т. д. оставляем для невозмущенных значений соответствующих тензоров); изменения плотности, давлений и т. д. материи могут быть выражены через бgik. Введем обозначение
б gih = hik (2.1)
для возмущения ковариантных компонент метрического тензора, причем под hi, Iftxh будут подразумеваться компоненты, полученные из Ifiik поднятием индексов с помощью невозмущенного тензора gik. Другими словами, мы будем рассматривать hik как тензор в пространстве невозмущенной метрики gik. Тогда возмущение контравариантных компонент метрического тензора будет
Sgik = - hik
(2.2) 366 E. M. Лифшиц
[так чтобы с точностью до величин первого порядка малости соблюдалось условие (gik + 8gik) (gkl + Sgw) = б{].
Поправки к символам Кристоффеля выражаются через hih следующим образом:
6ГІІ =4" <aa;i +h},k-hkiA) (2.3)
(индекс после точки с запятой означает ковариантное дифференцирование), в чем можно убедиться непосредственной проверкой. С их помощью можно получить для возмущения тензора кривизны
O-й Ulm = y(Ua;wi;1 + Kn-,k;l —hhm\l —— AV,fe;m + ^Ы \m ) ¦ (2.4) откуда для поправок к тензору Rik имеем
8Rik = 6RlUk = -J (h\-k;i + hk)i\i —hikli — h.xk), (2.5)
где Ifi обозначает след тензора hik: h = h\. Ниже мы будем пользоваться смешанными компонентами Ri. Для них имеем
OR^g^Rn-h^Rn (2.6)
[это следует из того, что Ri + bRi = (Ril + 8Rtl) (gkl + 6gft')]. Изменение бR скалярной кривизны равно
OR = 8R} = h% ;i ;A —tii — hikRik. (2.7)
Наконец, члены первого порядка в гравитационных уравнениях (1.8) дают уравнения, которым должно удовлетворять всякое возмущение:
= (2.8)
где возмущение 8Ті тензора энергии-импульса материи есть
б Г- = (р + р) (щЬик + иЧщ) + (б р+ бр) щик + б- б р. (2.9)
Для конкретного вычисления всех этих выражений выбираем систему отсчета (которая, очевидно, может быть подвергнута любому малому преобразованию, оставляющему бgih малыми) таким образом, чтобы было
h0« = 0, h00 = 0. (2.10) о ГРАВИТАЦИОННОЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАСШИРЯЮЩЕГОСЯ МИРА 367
Это всегда может быть достигнуто, поскольку преобразование системы отсчета содержит четыре (по числу координат) произвольные функции. Довольно длинные вычисления приводят в результате к следующим выражениям:
xz??_ 1 (h ;?j_fc?;Y z,;? h1 b?" . a' /,?' . Oila— 2a2 v^ajv "Г ^y ;a — — 'la\y) a ~дЗ~ a
і /j?1 і fl/ b'fi? + a2 1 2a3 Л -
8Ro -h" +is h^ = w« - ?)' (2Л1>
Все ковариантные дифференцирования производятся здесь над трехмерным тензором ft? в трехмерном пространстве с метрикой, определяемой элементом длины
dl2 - d%2 + Sin2 X (sin2 0 dcp2 + d02) (2.12)
(т. е. С ПОМОЩЬЮ трехмерного метрического тензора Ya ? = J^ga?)*
Далее, вычисляем компоненты бТ\. Для четырехмерной скорости имеем, взяв вариацию от тождества gikuluk = —1,
JlikUiUh + g IkUiSuh + gi^OU1 = 0.
Имея в виду, что невозмущенные значения скорости есть Ua = Of и0 = 1 /а, получим отсюда при условиях (2.10): б и0 = 0. Из (2.9) находим теперь
бг? = брба, бП= -а(р + р)6и«, 6Г8= -бр. (2.13)
Ввиду малости бр и бр можно написать бр = (dp/dp) бр, и мы получаем соотношение
бг?=-б?^бг2. (2.14)
Подставив в это соотношение компоненты б Ti, выраженные через бRki согласно уравнениям (2.8), мы получим в результате окончательные уравнения для возмущения ha метрического тензора. В качестве этих уравнений удобно выбрать уравнения, 368 Е. М. Лифшиц
