Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Куранский Е. -> "Альберт Эйнштейн и теория гравитации" -> 134

Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.

Куранский Е. Альберт Эйнштейн и теория гравитации — Мир, 1979. — 592 c.
Скачать (прямая ссылка): albertenshteynteoriyagravitacii1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 128 129 130 131 132 133 < 134 > 135 136 137 138 139 140 .. 205 >> Следующая


Прежде чем анализировать асимметричный случай, рассмотрим сферически-симметричный случай распределения вещества в круге конечного радиуса в С3, которое коллапсирует симметрично.

1J Во избежание сингулярностей может быть использована отрицательная энергия «С-поля» [13]. Однако трудно понять, как могло бы даже наличие отрицательной энергии привести к эффективному «отскоку», если не нарушается локальная причинность!

2) Под этим названием имеется в виду сверхоптимистическое отношение («I'm all right, Jack») к сингулярностям! 392 Р. Пенроуз

В этом случае пустая область, окружающая вещество, описывается полем Шварцшильда, и для ее описания будет удобно восполь-



Фиг. 1

Сферически-симметричный коллапс (одно пространственное измерение опущено). Эта же схема в основном используется и при анализе несимметричного случая.

зоваться метрикой ds2 = —2drdv + dv2 (1 — 2mir) — г2 X X (d№ + sin2 0 dqfi) с опережающим временным параметром v [14]. Эта картина изображена на фиг. 1. Отметим, что внешний ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС 393*

наблюдатель всегда будет видеть вещество вне г = 2т, а сжатие сквозь г = 2т и до сингулярности при г = 0 для него невидимо.

После того как вещество сожмется до г < 2т, в пустом пространстве, окружающем его, можно взять пространственно-подобную сферу S^ (t = const, 2т >> г = const). Такая сфера — пример того, что здесь будет называться «ловушечной поверхностью» и определяться в общем случае как замкнутая пространственно-подобная 2-поверхность T*, обладающая тем свойством, что две ортогонально падающие на Т% системы изотропных геодезических на Т% локально сходятся (конвергируют) в направлении будущего. Ясно, что если заполненная веществом область не имеет резкой границы или сферическая симметрия нарушена, но отклонения от описанной выше картины не слишком сильны, то ловушечная поверхность будет все же существовать. Так, все решения Keppa при т >> а (с моментом импульса та) обладают ловушечными поверхностями, а при т <. а не обладают 1J. Нашей целью будет показать, что из существования ловушечной поверхности независимо от симметрии вытекает необходимость развития сингуляр-ностей.

Однако невозможно заключить о существовании сингулярности без предположения о свойстве типа полноты для рассматриваемого-многообразия. Здесь потребуется предположить, что многообразие-Ml — результат] развития в будущем начальной гиперповерхности Коши C3 (границы области М\ со стороны прошлого) — по направлению в будущее является фактически изотропно полным. Точнее говоря, можно делать следующие варианты предположений. I. Ml представляет собой несингулярное риманово-

многообразие с сигнатурой (~\----), изотропные полуконусы

которого образуют две отдельные системы («прошлую» и «будущую»). И. Каждая изотропная геодезическая в Ml может быть продолжена в будущее до сколь угодно больших значений аффинного параметра (изотропная полнота). III. Любая временноподоб-ная или изотропная геодезическая в Ml может быть продолжена в прошлое до ее пересечения с C3 (условие гиперповерхности Коши). IV. В каждой точке Ml все временнойодобные векторы №

удовлетворяют условию ( — Rliv +-J Rguv — A'&iv) > 0 (неотрицательность плотности энергии). V. В Ml существует ловушечная поверхность Г2. Здесь будет показано (схематически), что» условия I—V несовместимы друг с другом.

Пусть Fk — множество точек в M+, которые можно соединить с Г2 гладкой временноподобной кривой, идущей от T2 в будущее.

г) Случай т < а интересен в том отношении, что сингулярность оказывается «видимой» для внешнего наблюдателя. Возникают ли с неизбежностью «видимые» сингулярности при соответствующих* условиях — вопрос волнующий, но не охватываемый рамками настоящего исследования. 394 P. Пенроуз

Пусть B3 — граница множества Fk. Локальный анализ показывает, что там, где граница B3 не сингулярна, она изотропна и образована отрезками изотропных геодезических, пересекающих T2 под прямым углом в своей оконечности в прошлом, а оконечность в будущем существует, если она является сингулярностью границы B3 (в области каустики или пересечения). Пусть Ili (для которого ZVv = 0), р ( = -V2Z%) И I о I (= [VaV,Vjfl4iv ~ — V4 (Л^)2]1/2) суть соответственно направленный в будущее касательный вектор, сжатие (конвергенция) и сдвиг этих изотропных геодезических (см. расшифровку обозначений в [15]), причем А пусть будет соответствующей бесконечно малой площадью течения границы В3. Тогда

[(Л1/2);^Ь Zv= -(Л^рЫ14= _Л1/2(|а|2 + Ф)<0,

где Ф = -1Z2RixvI^lv (> 0, согласно IV). Так как поверхность T2 ловушечная, на T2 должно выполняться условие р > 0, причем А обращается в нуль на конечном аффинном расстоянии в сторону будущего от T2 по любой из изотропных геодезических. Значит, каждая геодезическая выходит на каустику. Поэтому граница B3 компактна (замкнута), будучи образована компактной системой конечных отрезков. Можно аппроксимировать B3 сколь угодно точно гладкой замкнутой пространственно-подобной гиперповерхностью В3*. Обозначим через Kk множество пар (Р, s), где P ? В3* и 0 < S < 1. Определим непрерывное отображение (я: Kk Af*, такое, что |я{(Р, s)} для фиксированной точки P является отрезком геодезической в направлении прошлого, нормальной к В3* в точке P = М<{(Р> 1)} и встречающейся с C3 (как этого требует условие III) в точке [х{(Р, 0)}. В каждой точке Q на |я{і?4} можно определить степень d (Q) отображения (д, как число точек Z4, отображаемых на Q (при правильном подсчете). В любой области, не содержащей образа граничной точки из Z4, степень d (Q) постоянна. Вблизи В3* отображение \х взаимно однозначно, так что d (Q) = 1. Следовательно, d (Q) = 1 также вблизи C3j и степень отображения В3* С3, индуцируемого отображением (д, при 5 = 0, также должна быть равна единице. Но это невозможно в силу некомпактности С3.
Предыдущая << 1 .. 128 129 130 131 132 133 < 134 > 135 136 137 138 139 140 .. 205 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed