Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
симметрическому тензору fab с равной нулю проекцией fabxb = 0: R- „ 1 ,R- V , , 3 < 2 а о ГРАВИТАЦИОННОЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАСШИРЯЮЩЕГОСЯ МИРА 371
индексов (отделенных запятой), симметричный по всем остальным и удовлетворяющий, сверх того, следующим условиям: он дает нуль при упрощении по любой паре индексов а, Ъ и одному (любому) из остальных. Последнее условие налагается для того, чтобы нельзя было понизить ранг тензора образованием дуального ему тензора. Тогда выражения
rnSa = Bab,cd...xbxcxd ... (3.5)
образуют (в четырехмерном евклидовом пространстве) вектор, перпендикулярный радиус-вектору (SaXa = 0), компоненты которого являются однородными полиномами степени (п — 1), удовлетворяющими уравнению Лапласа (д!дха)% rnSb = 0. Вектор Sa^ будучи преобразован в сферические координаты, дает трехмерный вектор Sa, компоненты которого зависят только от углов X, 0, ф и представляют собой векторные сферические функции.
Функции Sa могут быть определены и без помощи четырехмерного евклидового пространства, как векторные собственные функции трехмерного оператора Лапласа в пространстве с метрикой (2.12). Именно, Sa удовлетворяют уравнениям
S'i р = - (п* - 2) Sa, Sfa = 0. (3.6)
Равенство нулю дивергенции Sfa соответствует тому, что с помощью вектора Sa нельзя составить линейного скаляра (в четырехмерном представлении этому соответствует равенство нулю скаляра Saxa). Первое из уравнений (3.6) может быть получено, как и (3.4), выделением угловой части из четырехмерного оператора Лапласа, примененного к вектору. Явное выражение для векторных сферических функций можно найти либо преобразованием (3.5) к сферическим координатам, либо решением уравнений (3.6). Мы приведем здесь результат вычисления лишь для наиболее симметричной функции:
С А 1 d sin п%
Sx = cos G —--г--:—— ;
sm X dx sm X '
с sin Qd/. d sin п7 \ а л Vе/
Sq =------— Sin У---;-— , Sw= 0
0 2 d% \ л dx Sin X / ' ф
(п = 2, 3, . . .).
Аналогично тензорные (второго ранга) сферические функции могут быть определены посредством полиномов
Tn-lGab = Cac, bd} XcXdXeXf ...,, (3.8)
образующих симметрический четырехмерный тензор второго ранга. Здесь СаС} bd, ef,... есть постоянный тензор (п + 1)-го ранга (п = 3, 4, . . .) со следующими свойствами: он антисимметричен по парам индексов а, с и Ъ, d, симметричен по всем остальным,
24* 372 Е. М. Лифшиц
симметричен по отношению к перестановке пары а,с с парой fc, d, дает нуль при упрощении по любой паре индексов и дает нуль при образовании циклической суммы по тройкам индексов — паре а, с (или fc, d) и одному (любому) из остальных. С помощью тензора Gab нельзя составить линейного скаляра или вектора: скаляры Ga, GabXaXb и вектор GabXb тождественно обращаются в нуль. Преобразуя Ga к сферическим координатам, получим трехмерный тензор Ga (с равным нулю следом Ga = 0), компоненты которого зависят только от углов и образуют тензорные сферические функции. Тензор Ga удовлетворяет трехмерным уравнениям:
G^= -(>г2-3)с?, =0. (3.9)
Возвращаясь к гравитационным возмущениям, замечаем, что определение возможных типов этих возмущений сводится к нахождению возможных типов симметрических тензоров второго ранга ha, которые можно составить с помощью описанных сферических функций. Пространственное распределение возмущения скорости биа и плотности бр определяется при этом соответствующими векторами и скалярами, составленными из тех же функций. Таким образом получим следующую классификацию.
1. С помощью скалярных функций Q можно составить тензо-ры 1)
Q^Y^Q, ^ = ^r Qi+ Qi. (3.10)
Тензор Pa определен так, чтобы было Pa — 0. С той же функцией Q можно образовать вектор
(з-11)
Соответствующим скаляром является сама функция Q.
2. Из векторной функции Sa можно составить тензор 2)
s? = si? + <s?«. (3.12)
Вектором является сама функция Sa, а соответствующего скаляра не существует.
3. Тензоры вида Ga» соответствующих им векторов и скаляров не существует.
При п = 1, 2 могут быть образованы только тензоры но не P^.
2) При п = 2 тензор S^ не существует. о ГРАВИТАЦИОННОЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАСШИРЯЮЩЕГОСЯ МИРА 373
Ковариантные производные от этих тензоров [входящие в уравнения (2.15) — (2.17)] могут быть легко вычислены посредством приведения их к производным, непосредственно определяемым уравнениями (3.4), (3.6), (3.9). При этом приходится переставлять порядок ковариантного дифференцирования по различным координатам. Такая перестановка производится по известным из тензорного анализа формулам с помощью тензора кривизны. Тензор кривизны (трехмерный) на поверхности гиперсферы единичного радиуса есть просто
^?v6=V366?-V?v6", (3.13)
как это следует непосредственно из симметрии (см., например,[2], § 102). Таким образом получим формулы
*?!?=-(*2-7)/>?, (Ql-Pl),
Pl#=~(n-4) Pa,
Sl^ -(n*-G)Sl, + ,а= -(п*-~4) Si,
S?;?=-(*2-4)Sa. (3.14)
Остальные производные в уравнениях (2.15) — (2.17) вообще не требуют особого вычисления.
Все эти результаты могут быть без труда перенесены на открытую модель, в которой пространство обладает постоянной отрицательной кривизной (геометрия такого пространства соответствует математически геометрии на поверхности четырехмерной «псевдосферы» мнимого радиуса). В соответствии с (1.14) можно было бы ожидать, что «сферические функции» в этом пространстве (назовем их «псевдосферическими») получатся из рассмотренных выше функций просто заменой % —i%. Это, однако, не так. Действительно, искомые функции, рассматриваемые как собственные функции оператора Лапласа, должны удовлетворять условию конечности во всем пространстве. Между тем функции, получающиеся путем указанной замены, экспоненциально возрастают при % —>¦ оо (в пространстве отрицательной кривизны координата % пробегает значения от О до оо). Удовлетворяющие необходимым условиям функции можно получить, если одновременно с подстановкой i% произвести замену п на in; легко видеть, что получающиеся тогда функции экспоненциально затухают на бесконечности. Четырехмерные определения вида (3.1), (3.5), (3.9), разумеется, теряют при этом смысл, и псевдосферические функции должны определяться просто как собственные функции оператора Лапласа в пространстве с метрикой
