Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Так, для расширения, при котором средняя плотность материи меняется от ядерной плотности IO14 г/см3) до современной плотности материи в пространстве (р/с2 = 10~30 г/см3), а (г]) возрастает в 5-Ю14 раз. 380 Е. М. Лифшиц
Его приближенное решение есть
I=-Cin VueinIud1i
(iС — постоянная), откуда с помощью (4.3), (4.5) получаем
Экспоненциальный множитель снова соответствует тому, что» мы имеем в рассматриваемом случае дело со «звуковыми волнами»,, распространяющимися со скоростью и, причем мы находимся в области применимости «геометрической акустики» (пиг\ 1)г так что фаза велика. И здесь мы находим, что возмущения, вообще говоря, не растут и, во всяком случае, не становятся большими
Сделаем следующее замечение по поводу возмущений рассмотренного типа. До сих пор мы считали эти возмущения адиабатическими, т. е. происходящими при неизменной энтропии, и пренебрегали, в частности, процессами диссипации энергии путем теплопроводности. Хотя роль этих процессов для самого расширения мира и совершенно ничтожна, однако а priori не исключена возможность того, что эти малые эффекты могут привести к появлению какой-либо неустойчивости. Для исследования этого вопроса надо рассмотреть неадиабатические возмущения, в которых испытывает изменения также и энтропия материи, причем надо принять во внимание процессы теплопроводности. Такие возмущения описываются гравитационными уравнениями, к которым надо присоединить также и уравнение теплопроводности, должным образом обобщенное для общей теории относительности; в самих уравнениях гравитации появляются дополнительные члены, содержащие изменение энтропии (давление является теперь функцией не только плотности, но и энтропии). Мы не станем приводить здесь этих вычислений и укажем лишь, что в результате исследования оказывается, что учет теплопроводности тоже не приведет к появлению неустойчивости.
Рассмотрим теперь возмущения второго типа, в которых
В возмущениях этого типа однородность распределения материи не нарушается (бр = 0); это следует непосредственно из тогог что не существует соответствующего скаляра (§3). Соответствую-
(4.16)
§ 5. ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
Ag = а (ті) 5g.
(5.1)
Зависимость и от времени можно оценить ориентировочно, рассматривая материю как адиабатически расширяющийся идеальный газ. о ГРАВИТАЦИОННОЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАСШИРЯЮЩЕГОСЯ МИРА 381
щий же вектор существует, и потому наряду с изменением метрики имеется также и возмущение скорости,— возникает движение материи, имеющее вращательный характер.
Уравнение (2.16) удовлетворяется автоматически, поскольку h = 0. Уравнение же (2.15) дает после подстановки (5.1) следующее простое уравнение для о (т]):
о*+2 -W = O; (5.2)
отметим, что в него не входит и. Отсюда
O = Const j -^jr-. (5.3)
Постоянная часть этого решения (постоянная интегрирования) «соответствует фиктивному изменению метрики, исключающемуся преобразованием системы координат [оно получается из (2.19) выбором /о = 0, fa = Sa]. Для возмущения скорости вычисление л о формуле (2.18) дает
аби,«= //9 -^rSa. (5.4)
4 (2а 2— а2— аа ) 4 7
Для уравнения состояния р = р/3 и малых времен (r\ 1) получаем
аби« = -^; (5.5)
мы оставили здесь множитель а перед биа, поскольку возмущение скорости должно сравниваться си0 = На. Для уравнения же состояния р = 0 получаем
° = С (cthT-Tcth3T-T)' ^tt = I2(ChVi) (5-6)
•(прит] 1 это дает а = — 8С/Зт]3, a прит] 1 имеем а = —4Ce~2ri). Таким образом, рассматриваемые возмущения во всех случаях затухают со временем.
§ 6. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
Наконец, рассмотрим возмущения третьего типа, в которых
= v (Ti)Gl (6.1)
Здесь изменяется только метрика, т. е. гравитационное поле; материя остается неподвижной (8иа = 0) и однородно распределенной в пространстве (бр = 0). Это следует непосредственно из того, что не существует ни вектора, ни скаляра, соответствующего тензору Ga. Таким образом, рассматриваемые возмущения 382 Е. М. Лифшиц
представляют собой гравитационные волны в расширяющемся мире.
Для V (г\) получаем из (2.15) следующее уравнение:
v"+2 — v' + (rc2 + l)v = 0. (6.2)
а
Оба решения этого уравнения соответствуют реальным изменениям метрики, которые не могут быть исключены преобразованием координат [поскольку в рассматриваемом случае не существует ни скаляра, ни вектора, которые могли бы быть подставлены в (2.19) в качестве /0 и /а].
Для уравнения состояния р = р/3 уравнение (6.2) принимает
вид
v" + 2cth ti-v' + {п% + 1) v - 0
и имеет решение
\
v~ ~sh~rf S*n ^rI +^2 C0S Wr))- (6-3)
При P = 0 уравнение (6.2) имеет вид
V" + 2 cth -J- V' + (га2 +1) V = 0.
Его решение есть
1 ~~r d / sin иг] \ л d / cos пч\
v = •
Shi
I ShJ- ) <M Sh 4
(6.4)
При малых г\ и небольших значениях числа п (т\ 1) имеем отсюда
V = const ¦
const' / „ X, 1 З
(ц <4-)' (6-5>
ЇЇ
а при очень больших п (т\ 1)
v = ^r (С1 cos ПГ\-C2Silinvi) (-1 < Tl < 1) . (6.6)
Наконец, на поздних стадиях расширения, когда r\ 1,
