Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
получающиеся из (2.14) при а Ф ? и при упрощении по индексам «, ? і):
.,a-tii- ha + 2ha = 0 (a#?),
(2.15)
4- (hu-h6y ;v;o) — h" — 2—h' + h = Z fl
(2Л6)
Возмущения скорости и плотности могут быть непосредственно определены по известным ha по формулам (2.8), (2.11), (2.13). Вычисление дает для относительного изменения плотности
T= 6(^) №*-h% + 2±h'-2h), (2.17) а для возмущения скорости
6^= 4 (а2-|-2а/2—аа*) (2Л8)
Среди решений уравнений (2.15) и (2.16) есть такие, которые могут быть исключены простым преобразованием системы отсчета и поэтому не представляют собой реального физического изменения метрики. Дело в том, что условия (2.10) еще не определяют выбора системы отсчета однозначным образом. Действительно, при преобразовании координат хг —Xх + где |г — малые величины, тензор gik получает приращение
Условия (2.10) дают откуда
t __ а і t _ fl2 Г dy\ d/o , ч
бо- — у/о, 6а — — J — дха -Ta /а»
Здесь и везде в дальнейшем тензоры и векторы с греческими индексами суть трехмерные тензоры и векторы в пространстве с метрикой (2.12), т. е. на поверхности гиперсферы единичного радиуса. При этом тензор Ji^ и вектор и« определены так, что смешанные компоненты первого и контр авар иантные второго совпадают с соответствующими компонентами /ц и Ui. Дальнейшие же операции поднимания и опускания индексов производятся с помощью метрического тензора о ГРАВИТАЦИОННОЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАСШИРЯЮЩЕГОСЯ МИРА 369
где /0, /а — произвольные функции пространственных координат яа. Это и есть то преобразование, которое допускается условиями (2.10). Отсюда находим следующий общий вид величин ha, которые могут быть исключены преобразованием системы отсчета:
й?=/0 % J-?- + -?-/^+- (/а;ЧЛа) (2-19)
[/о и /а рассматриваются здесь как скаляр и как вектор в пространстве с метрикой (2.12)].
§ 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ЧЕТЫРЕХМЕРНЫМ ШАРОВЫМ ФУНКЦИЯМ
Метрика пространства постоянной положительной кривизны соответствует, как известно, геометрии на поверхности гиперсферы в четырехмерном евклидовом пространстве. Поэтому произвольное возмущение может быть разложено по четырехмерным шаровым функциям (и их производным). Сделаем предварительно некоторые общие замечания по поводу этих функций.
Скалярные четырехмерные шаровые функции могут быть определены посредством однородных полиномов, составленных из декартовых координат ха (а = 1, 2, 3, 4) 1J в четырехмерном евклидовом пространстве, удовлетворяющих уравнению Лапласа в этом пространстве. Такой полином (п — 1)-й степени может быть представлен в виде
rn-lQ(n)==A^)c JZaXbX0 . (3.1)
где А аЪс„. есть некоторый постоянный (в декартовых координатах) тензор (п — 1)-го ранга (п = 1, 2, 3, . . .), симметричный по всем своим индексам и дающий нуль при упрощении по любой паре индексов (число независимых компонент такого тензора равно п2!). Угловая часть Qm этого полинома, написанного в четырехмерных сферических координатах г, 0, <р, и представляет собой линейную комбинацию п% сферических функций и может быть написана в явном виде следующим образом [3]:
<?<»>= 2 A\mYlm (0, ф) Пп; (х) (3.2)
I=0 т=-1
Ниже мы обозначаем первыми буквами латинского алфавита а, Ъ, с, . . . индексы, нумерующие декартовы координаты х, у, z, и в фиктивном евклидовом пространстве. Декартовы координаты связаны с четырехмерными сферическими координатами г, 0, ср соотношениями
X = Г sin X sin 0 COS ф, у = г sin % sin 0 sin ф, Z=T sin X cos 0, и — COS 370 Е. М. Лифшиц
(Аш — постоянные). Здесь Yin (0, ф) суть обычные трехмерные шаровые функции, а функции IlnI определяются как
п^-'х^ШтР1 (1-0.1,....-1). (3.3)
В частности, наиболее симметричная скалярная шаровая функция соответствует Z = Oh имеет вид
Jinnrl (п=1 2 V Sin Ц V '
Сферическая функция Q *) удовлетворяет уравнению
??=-(H2-I)?. (3.4)
Другими словами, Q есть скалярные собственные функции оператора Лапласа на поверхности гиперсферы единичного радиуса. Уравнение (3.4) легко получить, например, из четырехмерного уравнения Лапласа
(?^-1):2 = -?-Cr*"* = 0|
дх
отделяя в нем угловую часть (т. е. трехмерный оператор Лапласа) от членов с производными по г 2).
Наряду со скалярными сферическими функциями в четырехмерном случае могут быть определены также и несводящиеся непосредственно к ним векторные и тензорные сферические функции. Из них нам понадобятся функции векторные и тензорные второго ранга. Определение векторных сферических функций [аналогичное определению (3.1) скалярных функций] может быть дано следующим образом. Пусть Bab, есть постоянный тензор тг-го ранга (п = 2, 3, . . .), антисимметричный по первой паре
г) Во избежание загромождения формул большим количеством индексов, мы опускаем здесь и ниже в аналогичных случаях индекс (и), указывающий порядок шаровых функций.
2) Имеют место следующие формулы для оператора Лапласа, примененного к скаляру /:
f,a = ±fa+J_J_ Ir3^L) >° га гз дг \ дг ) '
вектору fa, перпендикулярному радиус-вектору IfaXa = 0): Aa =_L f.» , ^fa , 1 dfa__L/-
'а; а r2 'a;?~r ?r2 ^r Qr r2
