Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
W (0) = W± (0) + W1, (0) = W (z)= W± (z) + Wu (z) (1.6.7)
* W. (0) W. (z)
ц WJoj *1,6,8*
Разрешая (1.6.7) и (1.6.8) относительно энергии продольного движения, получаем
IF,, (.)-^,,(0)-^(0) [^-1]. (1.6.9)
Таким образом, при движении частицы в область возрастающего магнитного поля параллельная компонента ее скорости уменьшается и в некоторой точке может обратиться в нуль. Положение этой точки, называемой точкой поворота, зависит от отношения начальных энергий продольного и поперечного движений.
Задача 1.6.1. Обозначив через R отношение В (z)/B (0), покажите, что если при z = 0 вектор скорости составляет с направлением магнитного поля угол 0 = = arctg (у^/у||), то частица отразится в той точке ?., в которой выполнено условие
sin 0 >----^t=T . (1.6.10)
vm
Задача 1.6.2. Покажите, что угол, который вектор скорости составляет с направлением локального магнитного поля, преобразуется согласно соотношению
sin 0' = Vr (г) sin 0, (1.6.11)
где 0' — угол в точке Zj а 0 — угол в точке z = 0.
Задача 1.6.3. Покажите, что магнитный поток, охватываемый циклотронной орбитой частицы, при постоянном магнитном моменте остается постоянным.
Задача 1.6.4. До какого максимального значения электрического поля справедлива формула
х7 eXB
Vde= ~0$2 с'
если магнитное поле равно IO4 Tc?
^).2. Магнитное поле с поперечным градиентом 1J
Рассмотрим магнитное поле с прямыми силовыми линиями и с градиентом в направлении, перпендикулярном силовым линиям. В таком поле частица дрейфует перпендикулярно силовым линиям и направлению градиента поля. Это движение частицы
х) Cm. примечание на стр. 486.— Прим% ред.
488
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Более сильное магнитное поле
JUUUULr
JIQJUL
Градиент магнитного поля dB0/dy
Постоянное магнитное поле В =B0Z
Менее сильное магнитное поле
Фиг. 210. Движение заряженной частицы в магнитном поле с поперечным градиентом
(градиентный дрейф).
Магнитное поле В = Внаправлено на читателя. Показано, что более сильное поле вызывает движение частицы на орбите с меньшим радиусом кривизны, а слабое поле — с бблыпим радиусом кривизны.
нетрудно понять, заметив что в большем поле ларморовский радиус ее орбиты меньше; на той же части траектории, где частица движется в меньшем поле, радиус орбиты возрастает. Из-за такого характера движения траектория становится незамкнутой и возникает дрейф, как показано на фиг. 210*
Задача 1.6.5. Выведите приближенное выражение для скорости дрейфа при поперечном градиенте магнитного поля, полагая, что магнитное поле меняется скачком на линии, пересекающей орбиту, и сравните результат с полученным ниже.
Скорость градиентного дрейфа можно найти посредством разложения магнитного поля в ряд Тейлора относительно центра орбиты, движение которого предполагается медленным по сравнению с орбитальным движением частицы. Поле в месте нахождения частицы выражается через поле в центре циклотронной орбиты следующим образом:
В (г = ас) = Ь [В (0) + ас (I)-VB (0)]. (1.6.12)
В нашем обсуждении мы принимаем, что вектор VB содержит лишь поперечный градиент. Уравнение движения записывается в виде
;A = coc[v1Xb(l+^^)]. (1.6.13)
Для решения этого уравнения вновь разложим скорость на периодическую часть и постоянную скорость дрейфа Vd:
V1 =Vx+ Vd. (1.6.14)
Подставляя это выражение для скорости в уравнение (1.6.13), получаем
У± = (ос[^Хь(1 + -^^-)+УдХЬ (l+“s^® )]. (1.6.15)
Используя неравенство
В
и пренебрегая неоднородностью магнитного поля, можно найти приближенное решение уравнения (1.6.15) в виде
V1 = -(асх6)(0с. (1.6.16)
Подставляя это решение в уравнение (1.6.15), получаем в первом порядке
vx*(oc[-[acxb]xb (l+ -2acPv-) <oc + (VDXb)] . (1.6.17)
Усреднение этого выражения по времени (<v^> = (а^ = 0, <а§> = 1I2Ctl) Дает
VB
0=-^CDe--J-Vi)X ь. (1.6.18)
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ
489
Чтобы определить скорость градиентного дрейфа, разрешим уравнение (1.6.18) относительно скорости Vd, умножив его векторно на b. В результате получим
Vd,:
I ± Ь X VB
bX VB
с. (1.6.19)
грэд 2 дв BqB
Заметим, что скорость градиентного дрейфа зависит от знака заряда, поэтому градиентный дрейф может привести к появлению токов и разделению зарядов в плазме.
Задача 1.6.6. Проведите выкладки, опущенные при выводе уравнения (1.6.18), и проверьте справедливость сделанных приближений.
6.3. Магнитное поле с изогнутыми силовыми линиями
|?| Силовая трубка
Фиг. 211. Движение заряженной частицы в магнитном поле с изогнутыми силовыми линиями (центробежный дрейф).
R — радиус кривизны силовой трубки.
Рассмотрим магнитное поле с изогнутыми силовыми линиями, как показано на фиг. 211. Такое
поле имеет, вообще говоря, отличный от нуля градиент в направлении, перпендикулярном силовым линиям поля, что приводит к возникновению градиентного дрейфа, который мы только что рассматривали выше. Кроме того, если частица имеет конечную скорость вдоль магнитного поля, на нее действует центробежная сила, обусловленная кривизной магнитных силовых линий, и частица дрейфует в направлении, перпендикулярном направлениям радиуса кривизны R и магнитного поля. Этот дрейф возникает в результате действия центробежной силы на ведущий центр частицы при его движении вдоль силовой трубки. Действие центробежной силы приводит к специфическому центробежному дрейфу таким же образом, как приводит к дрейфу действие произвольной силы. Скорость этого дрейфа равна
