Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
= Ux
NI Щ Л I Il
С С
(I)Z А_ ЧЕ
с л Jcm0C2 *
I= (0/, со = Zcc.
0 2 4 6 8 Ю 12 14 16
(1.5 12)
(1.5.13)
(1.5.14)
18 20 22
cut
В этих уравнениях введены следующие обозначения:
F-A cos (0 — Z-f- ф),
Z =
Фиг. 208. Скорость движения частицы в поле сильной электромагнитной волны [1].
Приведены х- и z-компоненты скорости относительно скорости света с. Плоская электромагнитная волна распространяется в направлении оси г и поляризована в направлении оси х: Ex = E0 ехр [i (cot — fez)]. Кривые приведены для различных значений параметра А = qE Jhm0C2.
магнитным полем. Скорость параллельного
На фиг. 208 показаны скорости движения заряженной частицы, покоящейся в начальный момент времени, в поле волны большой амплитуды для некоторых значений параметра А. Частица приобретает скорость в направлении распространения под действием силы V X В, создаваемой высокочастотным (в направлении В) движения можно найти из приближенного соотношения сДлгр,, = = AV2^yj.*
Задача 1.5.3. Покажите, что в пределе | Uz \ <С 1 сечение неупругого рассеяния на удвоенной частоте определяется выражением а (2со) = а (со) | UXtMaKc I 2> гДе а (со) = (8л/3) rl — томсоновское сечение, г0 = е21т0с2 — классический радиус электрона.
Задача 1.5.4. Покажите, что для заряженной частицы, начинающей движение при некоторой начальной фазе ф электрического поля, так что E = х Ex cos (cot + Ф), среднее значение скорости равно
<tf,> = -?(l + 2sin**).
Задача 1.5.5. Релятивистское уравнение движения частицы с зарядом q и массой т записывается в виде
-j^-[mv(x, <)] = g[^E(x, <И
v(x, t) X В (х, ty
(1.5.15)
Покажите, выразив релятивистскую массу через массу покоя, т. е. т = = т0 (I — V2Ic2)"1/2, что уравнение (1.5.15) можно записать следующим образом:
d q
V (X, *) = — at ут0
{е(х, tу
где 7 = (I — V2Ic2)"1/2,
V (х, г)ХВ(х, t) V (х, t) [v (х, O-E (х, Q]
} , (1-5.16)
486
ПРИЛОЖЕНИЕ I
§ 6. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОСТОЯННОМ НЕОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Составляющие градиента магнитного поля образуют тензор, имеющий в общем случае девять компонент. В прямоугольной декартовой системе координат соответствующая матрица записывается в виде
VB =
дВх дВх дВх
дх ду dz
дВу дВу дВу
дх ду дг
дВг дВг дВ2
дх ду dz
Из уравнения V-B = O следует, что среди диагональных компонент лишь две независимы. Чтобы изучить влияние градиента магнитного поля на движение частицы, мы рассмотрим ряд упрощенных задач, в которых члены разного типа, связанные с определенным дрейфовым движением, следует учитывать по отдельности. Для получения полной картины движения мы должны затем сложить дрейфы различного вида. К простым случаям относятся те, в которых магнитное поле медленно меняется в пространстве. Условие медленности можно записать в виде
уЛ7В!<1.
Это условие означает, что магнитное поле мало меняется на расстоянии порядка ларморовского радиуса при движении частицы поперек магнитного поля, т. е.
t VB
сосВ
<1,
а в случае движения частицы вдоль магнитного поля — то, что магнитное поле, которое «видит» частица, мало меняется за время порядка циклотронного периода, т. е.
-VB
COcB
<1.
6.1. Магнитное поле с продольным градиентом *)
Рассмотрим заряженную частицу, которая вращается по почти круговой орбите вблизи оси симметрии в азимутально-симметричном магнитном поле, как показано
на фиг. 209.
В цилиндрических координатах условие равенства нулю дивергенции магнитного поля записывается следующим образом:
1 9 .(гВг)+^- = 0. (1.6.1)
Силовые линии магнитного поля
г дг
dz
Интегрируя уравнение (1.6.1), лолучаем компоненту Bri выраженную через
Bz (z), в виде
Гв,
-Ї
дВг
dz
dr'
(1.6.2)
поскольку гВг = 0 при г = 0. Считаем, что изменение BzC z мало; это позволяет вынести производную из-под интеграла. Тогда (1.6.2) принимает вид
А-6-3»
Фиг. 209. Движение заряженной частицы На вращающуюся частицу со стороны в магнитном поле с продольным градиентом. радиального магнитного поля действует
1J Этот термин не является математически корректным, однако он широко распространен. Имеется в виду поле, напряженность которого изменяется в основном вдоль поля.— Прим, ред.
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ
487
сила (1/с) VqBj.. Поскольку uQ = — (q! |g|) | v± | , эта сила равна
HKfr _ (1
С с
Подставляя сюда Br из (1.6.3), полагая г = vjwc и используя обозначение W1 = 1I2mv^ получаем
ьвг
В
Z
(1.6.5)
Обобщая это выражение, можно вычислить силу, параллельную локальному магнитному лолю,
Fjj = — jyi-VB. (1.6.6)
Другой способ описания движения заряженной частицы в неоднородном магнитном поле состоит в использовании приближенного интеграла движения jn = WjB и интеграла движения W (равного полной энергии). Рассмотрим снова ситуацию, схематически изображенную на фиг. 209, когда частица движется в область возрастающей плотности магнитного потока. Обозначим через В (0) магнитное поле в некоторой точке, где частица обладает как продольной энергией W^, так и поперечной W±. При движении частицы в область возрастающего магнитного поля полная энергия W сохраняется (поскольку F перпендикулярно v). Сохраняется также магнитный момент jn, так как в системе отсчета, движущейся вместе с частицей, магнитное поле медленно возрастает во времени. Поэтому можно записать следующие соотношения:
