Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
I і At(irv--^r4 f°(v' ,)iy’- <iuLi7>
Это уравнение называется уравнением JIenapda — Балеску. Оно относится к уравнениям типа уравнения Фоккера — Планка, причем в нем учтены диэлектрические свойства плазмы, приводящие к экранированию.
Задача 11.11.1. Выведите уравнение Фоккера — Планка методом, использовавшимся в гл. 6, но приняв во внимание, что взаимодействие между двумя рассеивающимися частицами описывается экранированным кулоновским потенциалом (§1 настоящей главы). Покажите, что результат совпадает с (11.11.17) (см., например, [27]).
Задача 11.11.2. Получите уравнение (11.11.17) из уравнений (11.11.13)— (11.11.15). Покажите, что jG(v, v')Vv'Fa0 (X1)Fa0 (v) dx' возникает
ФЛУКТУАЦИИ, КОРРЕЛЯЦИИ И ИЗЛУЧЕНИЕ
47$
из члена с (v — V4) в Faк, тогда как j G (v, v')VvFaо (v) Fa0(v') dvr появляется из оставшихся двух членов Fa
При выводе уравнения Ленарда — Балеску не были учтены поля плазменных волн (учитывались лишь поля отдельных частиц): члены, пропорциональные exp (—I(Okl)1 были опущены. В действительности, особенно есл» система далека от термодинамического равновесия, поля волн наряду со столкновениями могут определять временную эволюцию системы. Более того, в неустойчивой плазме эти поля играют главную роль.
Можно получить уравнение, аналогичное уравнению Ленарда — Балеску, учитывающее эффекты полей устойчивых и неустойчивых волн, оставив в выражениях для Ek (t) и Faк (?) члены, содержащие exp (-icok t). Вычисления довольно громоздки, но результат может быть записан в очень-наглядном виде г):
^ = (11.11.18)
dt dt коллект д\
Слагаемое (dFa/dt) | коллект описывает эффект линейных и нелинейных взаимодействий частицы с волной, а также нелинейных процессов взаимодействия волн с волнами, обсуждавшихся в гл. 10. Ток Ja определяет влияние столкновений и других процессов (в которых участвуют частицы), таких, как излучение волн:
'.= -2 S^(i5Tt)2A:
X
• j та \ к- /
V
Л/ 1 Г 6(t°b-k-v,) F.(v> rtJ_x
Jl |0Z>(kt <D)/dcD|2 v L^-k.v + te)* ^ ’ ’ % X
0)=0)^ + 28
X k. V.F. <v, 0 - Fa <V’ 0 *'4y'F" (V'• 4] +
+ 6(k v-k.v') ( V,.) X
X Fet (v,«) F3(VffO)^v'; (11.11.19)
здесь P обозначает главное значение интеграла.
Сумма S берется по различным нулям уравнения D (к, о)к) = 0, т. е. по
V
различным типам плазменных волн. В выражении (11.11.19) первые два
слагаемых в j d\' описывают спонтанное излучение волн частицами: первое
из них дает нерезонансное, а второе — резонансное излучение. Третий член в этом выражении есть интеграл столкновений, полученный в гл. 6 при выводе уравнения Фоккера — Планка и в настоящей главе — при выводе уравнения Ленарда — Балеску.
Заметим, что в случае неустойчивой плазмы член, определяющий коллективные эффекты, нарастает со временем, и по сравнению с ним ток Ja становится несущественным. В плазме, близкой к полному равновесию, излучение и поглощение волн компенсируют друг друга и релаксация в основном определяется столкновительным членом.
В приведенных ниже задачах сформулированы и предложены для доказательства некоторые свойства уравнения «Ленарда — Балеску.
г) Cm. § 14.6 в книге Давидсона [28] и приведенные в ней ссылки на литературу.
474
ГЛАВА 11
Задача 11.11.3. Покажите, что в уравнении Ленарда — Балеску
(11.11.17) не требуется вводить искусственное обрезание при малых к в отличие от уравнения Фоккера — Планка. Отнесите этот факт за счет экранирующего свойства плазмы.
Задача 11.11.4. Покажите, что интеграл в (11.11.17) действительно необходимо обрезать при больших к. Это связано с тем, что большие к соответствуют близким столкновениям между частицами, для которых потенциал взаимодействия нельзя рассматривать как слабое возмущение, что предполагалось в теории, развитой нами; иными словами, разложение по g = 1/пХЬ не годится для коротковолновых (при больших к) компонент функции распределения. Задача 11.11.5. Покажите, что из уравнения (11.11.17) вытекают следующие свойства [16, 24] функции распределения: I) ^ao остается положительной;
Задача 11.11.6. Убедитесь, что максвелловская функция распределения представляет собой не зависящее от времени решение уравнения
(11.11.17). Покажите, что при t —>- оо всякое начальное распределение Fa0 приближается к максвелловскому (Н-теорема).
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Rostoker N.9 Rosenbluth М. N., Phys. Fluids, 3, 1 (1960).
2. Frieman E. A., Rutherford P., Ann. Phys., 28, 134 (1964).
3. Register Л., Oberman С., Journ. Plasma Physics, 2, 33 (1968); 3, 119 (1969).
4. Tidman D. Л., Euiator Л., Phys. Fluids, 8, 2059 (1965).
5. Kunze H. The Lazer as a Tool for PlasmaDiagnostics в книге «Plasma Diagnostics» (ed. W. Lochte-Holtgreven), North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1968, p. 550 (см. перевод: Методы исследования плазмы под ред. В. Лохте-Хольтгревена, изд-во «Мир», 1971).
6. Bowles К. L., Ochs G. Я., Green /. L., Journ. Res. Nat. Bureau Stand., 66D, 395 (1962).
7. Bernstein /. В., Trehan S. К.у Weenink M- P. Я., Nucl. Fusion, 4, 61 (1964).
