Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
(1.3.3)
х) Полученные таким способом результаты будут верны и в релятивистском случае.— Прим. ред.
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ
481
Однако отсюда не следует, что в уравнении движения можно пренебречь индуцированным электрическим полем. В самом деле, индуцированное электрическое поле может сообщать или отбирать энергию орбитального движения частицы. В предположении об отсутствии движения вдоль магнитного поля траектория частицы в медленно меняющемся магнитном поле приближенно описывается окружностью с медленно меняющимся радиусом. Изменение энергии поперечного движения частицы, когда она совершит полный оборот, равно
AW± ^ q ^ Edl. (1.3.4)
Используя уравнение Максвелла, это изменение можно записать в виде
-1- с \ '
іS
Предполагая, что размер орбиты изменяется за один период незначительно, для изменения энергии поперечного движения получаем следующее приближенное выражение:
дцгА я ,Mj lijl. (1.3.6)
Изменение магнитного поля В за один период равно
сос dt
Таким образом, отсюда и из (1.3.6) следует, что изменение энергии поперечного движения за один оборот составляет
W.
AJFa = -^-AB. (1.3.7)
Уравнение (1.3.7) можно переписать следующим образом:
Wt .
= 0. (1.3.8)
(»-
Отсюда видно, что величина WjB, равная магнитному моменту частицы (1.2.18), приближенно является интегралом движения в медленно меняющемся магнитном поле. Магнитный момент называют адиабатическим инвариантом, и во многих случаях его можно считать постоянным. Существует несколько адиабатических инвариантов, связанных с движением частиц (см. § 7 настоящего приложения).
Задача 1.3.1. Восстановите выкладки, опущенные при выводе уравнения (1.3.8).
§ 4. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОСТОЯННОМ ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ И БЫСТРО МЕНЯЮЩЕМСЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ [B0 Ф 0, E (t) Ф О]
Если частица остается нерелятивистской, влиянием магнитного поля, индуцированного переменным электрическим полем, на движение частицы можно пренебречь. Для плоской волны E=E exp [i {kx — со*)] это условие выполнено, если qElkm0c2 <С 1 и со Ф сос. В дальнейшем анализе мы не будем учитывать индуцированного магнитного поля, поскольку электрические поля можно считать столь малыми, что написанное выше неравенство будет удовлетворено.
Согласно выражению (1.3.2), скорость движения вдоль магнитного поля равна
t
yU (O=sl7Ii (0) + ~ ^ E^dt9 (1-4.1)
0
Уравнение поперечного движения совпадает с (1,2.22), только теперь мы будем рассматривать величину E1 как зависящую от времени, т. е. E1 = E1 (t). Таким образом,
Я V1XB01
(1.4.2)
482
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Умножая обе части этого уравнения справа векторно на B01 получаем
• Qi vI^ B0 \
v±xBo“ (E1XB0 + ^--------------XB0). (1.4.3)
Раскрывая двойное векторное произведение, уравнение (1.4.3) можно записать в виде
ViX bO=-^- (exXB0 + ^^B0—^5Lvx) . (1.4.4>
Беря производную от обеих частей уравнения движения (1.4.2)
а / • V . х B0 ч 'і + <1А5>
из (1.4.4) можно исключить член [v± X В0]/с. Поскольку из определения Vj^ следует
VjieB = 0, мы имеем
^L-bO=-I-eL-bO = O. (1.4.6)
В результате из (1.4.4) и (1.4.5) получаем уравнение
Vi + = ~kI + ( ? )12 T Е1 X B0. (1.4.7>
Это уравнение может быть решено для произвольной зависимости E (J), однако здесь мы
рассмотрим лишь случай гармонической зависимости:
Е±(і) = Ее(Ехе~ш). (1.4.8)
Ищем решение в виде
Vx (?) = Re (vxe "ш) + Vxд (<)> (1.4.9)
где Y^h — скорость циклотронного движения, удовлетворяющая однородному уравнению (1.2.25). «Крышка» в соответствующих величинах означает, что рассматриваемые амплитуды являются комплексными числами. Дальнейший вывод аналогичен использованному выше при исследовании движения заряженной частицы в скрещенных E- и В-полях* а именно движение разделяется на циклотронное движение со скоростью Vj^ и «дрейфовое движение» со скоростью Re (v±<rifi>t), которое представляет собой отклик частицы на электрическое поле. Поскольку электрическое поле зависит от времени, обусловленные им скорости дрейфа также зависят от времени. Отметим, что здесь, как и в случае статического поля, можно выбрать начальные условия, соответствующие отсутствию* циклотронного движения, а полное движение частицы описывать скоростью V1 = Yde =
= Re (vДля этих начальных условий стационарное решение уравнения (1.4.7)* для поперечной скорости^имеет вид
— to (д/т) Ёх 4- Iq/mf (Ёх X В 0)/с
CDe— сO2
(1.4.10)
Направив B0 вдоль оси ^^прямоугольной декартовой системы координат и расписав (1.4.10) по компонентам, получим
q —ШЁх + исЁу
со* — Cl)2
(1.4.11>
j j» “
vV = ---і "'о ~ , (1.4.12)
У т COq Cl)2 9 г
Vz = i-(1.4.13)
т со \ г
Скорость и электрическое поле связаны уравнением
v = A-E, (1.4 14)
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ
483
в котором тензор А имеет вид
A=-X
»с~
(Dc
COr -Cl^ (О* —
о о —-
(1.4.15)
to.
Задача 1.4.1. Проверьте, правильно ли записаны компоненты тепзора (1.4.15).
Из уравнений (1.4.14) и (1.4.15) следует, что вынужденное движение частицы в однородном электрическом поле Ex, гармонически зависящем от времени и перпендикулярном постоянному магнитному полю, представляет собой эллипс, большая и малая полуоси которого зависят от отношения циклотронной и вынуждающей частот. Это можно продемонстрировать, найдя решение для коордипат х и у дрейфующей частицы кпк функцию времени и исключив время, чтобы представить траекторию частицы в обычной форме уравнения эллипса, а именно
