Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Скалярное произведение обладает свойствами коммутативности и дистрибутивности, но в этом случае говорить об ассоциативности бессмысленно. Скалярное произведение вектора с самим собой равно квадрату его длины:
A-A =AiAi=A*
Векторное произведение векторов
aX а*
AxB = Ax АУ Az —
Bx ВУ Bz
— (AyBz AzBy) (AzBx AxBz)-f-az (AxBy—AyBx).
Векторное произведение обладает свойством дистрибутивности, но не является ни коммутативным, ни ассоциативным.
Определим дельта-символ Кропекера 6
Я____/ + 1'
I 0, і ф).
Единичный антисимметричный тензор EiJk имеет следующие компоненты:
Г +1, ?/Л:= 123, 231, 312 (при четном числе перестановок),
8ijk = \ —I* z/Ar = 321, 132, 213 (при нечетном числе перестановок),
L 0 (если два индекса принимают одно и то же значение).
Из этих определений и правила суммирования следует, что
&ijh?ijk == 6,
SijkShjk = ihi SijhSmnh ~ $im$]n fynfym*
Свойства единичных векторов, образующих ортогональный репер, можно теперь, записать в виде
ai \aj — &ij
и
аг X a j = Bijkdfl.
Так же можно записать скалярное произведение
A-B = ^ijAiBj = AiBi ж векторное произведение любых двух векторов
А х B = SiJkAjBk.
Для тройного векторного произведения нередко используют тождество А X [В X С] = В (A-C) — С (А-В).
Тензоры второго порядка. Тензор второго порядка имеет девять компонент, преобразующихся по определенному закону при переходе от одной системы координат к другой. Этот тензор часто записывают в виде
-Tli T12 T713-T= T21 T22 T2з -TT32 T33-
Элементы Tiі называются диагональными. Тензор является симметричным, если TiJ = = Tji. Единичный тензор а имеет компоненты atj = &tj. Тензор с компонентами AiBj1. составленными из компонент двух векторов А и В, называется диадой (диадным произведением векторов) и записывается в виде
Г AiBi AiB2 AiB3-AB = A2Bi A2B2 A2B3 -A3B1 A3B2 A3B3-
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЕКТОРОВ И ТЕНЗОРОВ
495
При записи диадного произведения между векторами не ставят никакого знака 1J. Произведение тензора на вектор (знак произведения обозначается одной точкой) дает вектор
T-A = a iT IjAji
причем і-я компонента вектора T *А записывается в виде
(Т • А) і = (T іхАх + T і у Ay + T iZA2).
Аналогично для произведения А*Т имеем
А*Т= BiAjTj і =
= а4 (AiTїї + A2T21 + A3Tзі) +
+ а2 (AiT 12 + A2T22 + A3T32) +
+ аз C^i T із+A2T 23 + A3T зз).
Векторные операции дифференцирования. Векторпый оператор дифференцирования
V (оператор Гамильтона, или набла) в декартовых координатах определяется следующим-образом:
_ ~ д ~ д ~ д ~ д =а* д~х+&у Тг.
Оператор V представляет собой векторный оператор: как и у всякого вектора, у него есть различные компоненты и он обязательно действует на какую-либо из величин: скалярную, векторную или тензорную функцию.
Градиент скалярного поля
F7 q * dS , с dS л OS . л , OS V‘S = ai^7 = grad‘S=a*U+a«' If+azIF-
Вектор, образуемый в результате действия оператора V на скаляр S1 называется градиентом величины S. Действие оператора V на S обладает дистрибутивностью, но не является ни коммутативным, ни ассоциативным.
Ротор векторного поля. Векторное произведение V на А называется ротором вектора А:
VxA = 8;jkBiVjAk = rot A =
ai а2 а3
д д д дхі дх2 дх3 Ai A2t A3
здесь Vj = dldxj.
Операция взятия ротора дистрибутивна, но не является ни коммутативной, нж ассоциативной.
Дивергенция векторного поля
т-7 А ЪА* .
V*A = -г-1- = div А = дхь
_ dAj дА2 , дА3
дхі дх2 дх3
Операция дивергенции является дистрибутивной, но не коммутативной и не ассоциативной. Лапласиан скалярного поля. Дивергенция градиента скалярного поля S (#f) равна
3
д I dS \ v-i O2S
дх\ ‘
1=1 г
Эта операция обычно записывается как V2S, причем оператор Лапласа А == V2 в декартовых прямоугольных координатах имеет вид
у2= 32 . 32 , 52
дх2 ду2 dz2
Оператор Лапласа обладает свойством дистрибутивности, но не обладает ни коммутативностью, ни ассоциативностью.
х) В отечественной литературе диады, как правило, не используются. В необходимых случаях переходят к тензорной записи, записывая диаду в виде AiBj.— Прим. ред.-
496
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Лапласиан векторного поля. В декартовых прямоугольных координатах оператор V2 может действовать на векторное поле, действуя отдельно на каждую компоненту этого поля, как на скаляр:
V2A = аг (-??-) = a* (VMx) + ?в (W2Av) + аг (W2Az).
В криволинейных координатах это равенство не выполняется. Однако всегда справедливо следующее равенство:
V2A = V (V-A) — V X [VX А].
Производная тензорного поля. Дифференциальный оператор V может действовать на тензоры и диады:
V-T =IiVjTji
и
V-AB = SlVj^Bi.
Таким образом, у-я компонепта записывается в виде
г дТж„ OT1111 дТг
(v Т)У-\ дх + ду + дж ) •
Аналогично, если V входит в состав диады, имеем
Можно сказать, что в этом случае V образует оператор 1J вида (A-V). Следовательно,
(A-V)S=M^
Субстанциональная, или материальная, производная. При описании движущихся жидкостей удобно дифференцировать по времени величины, отнесенные к одному и тому же жидкому элементу. В результате получаем субстанциональную производную, определяемую равенством