Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кролл Н. -> "Основы физики плазмы" -> 210

Основы физики плазмы - Кролл Н.

Кролл Н., Трейвелпис А. Основы физики плазмы — М.: Мир, 1975. — 526 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovifizikiplasmi1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 204 205 206 207 208 209 < 210 > 211 212 213 214 215 216 .. 226 >> Следующая


Скалярное произведение обладает свойствами коммутативности и дистрибутивности, но в этом случае говорить об ассоциативности бессмысленно. Скалярное произведение вектора с самим собой равно квадрату его длины:

A-A =AiAi=A*

Векторное произведение векторов

aX а*
AxB = Ax АУ Az —
Bx ВУ Bz

— (AyBz AzBy) (AzBx AxBz)-f-az (AxBy—AyBx).

Векторное произведение обладает свойством дистрибутивности, но не является ни коммутативным, ни ассоциативным.

Определим дельта-символ Кропекера 6

Я____/ + 1'

I 0, і ф).

Единичный антисимметричный тензор EiJk имеет следующие компоненты:

Г +1, ?/Л:= 123, 231, 312 (при четном числе перестановок),

8ijk = \ —I* z/Ar = 321, 132, 213 (при нечетном числе перестановок),

L 0 (если два индекса принимают одно и то же значение).

Из этих определений и правила суммирования следует, что

&ijh?ijk == 6,

SijkShjk = ihi SijhSmnh ~ $im$]n fynfym*

Свойства единичных векторов, образующих ортогональный репер, можно теперь, записать в виде

ai \aj — &ij

и

аг X a j = Bijkdfl.

Так же можно записать скалярное произведение

A-B = ^ijAiBj = AiBi ж векторное произведение любых двух векторов

А х B = SiJkAjBk.

Для тройного векторного произведения нередко используют тождество А X [В X С] = В (A-C) — С (А-В).

Тензоры второго порядка. Тензор второго порядка имеет девять компонент, преобразующихся по определенному закону при переходе от одной системы координат к другой. Этот тензор часто записывают в виде

-Tli T12 T713-T= T21 T22 T2з -TT32 T33-

Элементы Tiі называются диагональными. Тензор является симметричным, если TiJ = = Tji. Единичный тензор а имеет компоненты atj = &tj. Тензор с компонентами AiBj1. составленными из компонент двух векторов А и В, называется диадой (диадным произведением векторов) и записывается в виде

Г AiBi AiB2 AiB3-AB = A2Bi A2B2 A2B3 -A3B1 A3B2 A3B3-
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЕКТОРОВ И ТЕНЗОРОВ

495

При записи диадного произведения между векторами не ставят никакого знака 1J. Произведение тензора на вектор (знак произведения обозначается одной точкой) дает вектор

T-A = a iT IjAji

причем і-я компонента вектора T *А записывается в виде

(Т • А) і = (T іхАх + T і у Ay + T iZA2).

Аналогично для произведения А*Т имеем

А*Т= BiAjTj і =

= а4 (AiTїї + A2T21 + A3Tзі) +

+ а2 (AiT 12 + A2T22 + A3T32) +

+ аз C^i T із+A2T 23 + A3T зз).

Векторные операции дифференцирования. Векторпый оператор дифференцирования

V (оператор Гамильтона, или набла) в декартовых координатах определяется следующим-образом:

_ ~ д ~ д ~ д ~ д =а* д~х+&у Тг.

Оператор V представляет собой векторный оператор: как и у всякого вектора, у него есть различные компоненты и он обязательно действует на какую-либо из величин: скалярную, векторную или тензорную функцию.

Градиент скалярного поля

F7 q * dS , с dS л OS . л , OS V‘S = ai^7 = grad‘S=a*U+a«' If+azIF-

Вектор, образуемый в результате действия оператора V на скаляр S1 называется градиентом величины S. Действие оператора V на S обладает дистрибутивностью, но не является ни коммутативным, ни ассоциативным.

Ротор векторного поля. Векторное произведение V на А называется ротором вектора А:

VxA = 8;jkBiVjAk = rot A =

ai а2 а3

д д д дхі дх2 дх3 Ai A2t A3

здесь Vj = dldxj.

Операция взятия ротора дистрибутивна, но не является ни коммутативной, нж ассоциативной.

Дивергенция векторного поля

т-7 А ЪА* .

V*A = -г-1- = div А = дхь

_ dAj дА2 , дА3

дхі дх2 дх3

Операция дивергенции является дистрибутивной, но не коммутативной и не ассоциативной. Лапласиан скалярного поля. Дивергенция градиента скалярного поля S (#f) равна

3

д I dS \ v-i O2S

дх\ ‘

1=1 г

Эта операция обычно записывается как V2S, причем оператор Лапласа А == V2 в декартовых прямоугольных координатах имеет вид

у2= 32 . 32 , 52

дх2 ду2 dz2

Оператор Лапласа обладает свойством дистрибутивности, но не обладает ни коммутативностью, ни ассоциативностью.

х) В отечественной литературе диады, как правило, не используются. В необходимых случаях переходят к тензорной записи, записывая диаду в виде AiBj.— Прим. ред.-
496

ПРИЛОЖЕНИЕ II

Лапласиан векторного поля. В декартовых прямоугольных координатах оператор V2 может действовать на векторное поле, действуя отдельно на каждую компоненту этого поля, как на скаляр:

V2A = аг (-??-) = a* (VMx) + ?в (W2Av) + аг (W2Az).

В криволинейных координатах это равенство не выполняется. Однако всегда справедливо следующее равенство:

V2A = V (V-A) — V X [VX А].

Производная тензорного поля. Дифференциальный оператор V может действовать на тензоры и диады:

V-T =IiVjTji

и

V-AB = SlVj^Bi.

Таким образом, у-я компонепта записывается в виде

г дТж„ OT1111 дТг

(v Т)У-\ дх + ду + дж ) •

Аналогично, если V входит в состав диады, имеем

Можно сказать, что в этом случае V образует оператор 1J вида (A-V). Следовательно,

(A-V)S=M^

Субстанциональная, или материальная, производная. При описании движущихся жидкостей удобно дифференцировать по времени величины, отнесенные к одному и тому же жидкому элементу. В результате получаем субстанциональную производную, определяемую равенством
Предыдущая << 1 .. 204 205 206 207 208 209 < 210 > 211 212 213 214 215 216 .. 226 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed