Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
;(0_-L(E+!(!ixB). „,.2,
Рассмотрим решения этих уравнений для некоторых конфигураций полей.
Задача 1.1.1. При какой энергии (в килоэлектронвольтах) существенны релятивистские поправки к уравнениям движения для электронов и ионов?
Задача 1.1.2. Какой вид будет иметь уравнение (1.1.2), если в него включить гравитационное поле? На каком расстоянии и за какое время гравитационное поле
Земли могло бы ускорить электрон (ион) до энергии, при которой существенны
релятивистские поправки [см. задачу (1.1.1)]?
§ 2. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ОДНОРОДНЫХ СТАТИЧЕСКИХ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ
2.1. Свободное движение (E0 = B0 = 0)
В случае нулевых электрического и магнитного полей скорость V0, импульс mv® и кинетическая энергия ть'У2 являются интегралами движения.
2. 2. Движение в электростатическом поле (B0 = 0, E0 Ф о)|
В случае электростатического и нулевого магнитного полей уравнение (1.1.2) имеет решение
v W = vo+~E<- (1.2.1)
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ
477
Кинетическая энергия и скорость ее изменения равны (при V0 = 0)
W = -Imfi= (1.2.2)
2 2т
dW _ (qE)2 t
dt 2т ’ ( '
2.3. Движение в постоянном магнитном поле (E0 =0, B0 ф 0)
В случае когда магнитное ноле постоянно, а электрическое равно нулю, уравпение движения (1.1.2) принимает вид
;=_j_vxBo_
т с
Скалярное умпожепие этого уравнения на ту дает
d / I 9\ v-[vXB0] /т о сч
mv*v = — mv2 ) = а— ------------— = 0. (1.2.5)
dt ' 2 / с
Таким образом, кинетическая энергия частицы в однородном магнитном поле есть интеграл движения.
Определим единичный вектор в направлении магнитного ноля
т В° (1.2.6)
IB0I *
Умножая скалярно уравпенне (1.2.4) на Б, можно получить компоненту ускорения частицы вдоль магнитного поля:
. д MvxB1
где i’jj = v*b — скорость частицы вдоль магнитного поля. Следовательно, мы показали,
что скорость Уц и кинетическая энергия частицы вдоль магнитного поля l/2mv^| суть
константы движения. Это означает, что движение частиц в направлении, перпендикулярном магпитному полю, можно без потери общности изучать в системе координат, в которой 1>И = 0. Поскольку полная энергия заряженной частицы в статическом магнитном поле сохраняется, энергия движения частицы в поперечном направлении также остается постоянной. Сохранение энергии означает, что
w = Wll+ W1 = const. (1.2.8)
Скорость, перпендикулярная магнитному полю, определяется выражением
V1=V—(vb)b. (1.2.9)
Определяя единичный вектор в направлении скорости V^ как
(1.2.10)
‘'Л
уравнение (1.2.4) можно переписать в виде
V1 = у±е +^e = COcy1 (е X b), (1.2.11)
где (Oc = qBjmc.
Умножая скалярно (1.2.11) на ё, получаем
e-et^ = 0. (1.2.12)
Второй член в (1.2.12) равен нулю, следовательно, равен нулю и первый. Таким образом,
кинетическая энергия поперечного движения есть интеграл движения, как этого и следо-
вало ожидать на основании уравнений (1.2.7) и (1.2.8).
Используя соотношение (1.2.12), уравнение (1.2.11) можно перепис іть в виде
е = сос (ех6). (Ї.2.13)
478
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Фиг. 206. Движение ионов и электронов в однородном постоянном магнитном поле.
Скалярное умножение уравнения (1.2.13) на [е X Ь] дает
(ех В)-e = CDc. (1.2.14)
С другой стороны, можно записать следующее соотношение между единичными векторами:
е= — (еXЪ) 0, (1.2.15)
где 0 — угол, образуемый скоростью с некоторым фиксированным направлением,
перпендикулярным направлению Ь. Для положительно заряженных частиц угол 0 уменьшается со временем. Таким образом, положительно заряженные частицы вращаются по круговым орбитам в направлении по часовой стрелке, если магнитное поле направлено, как показано на фиг. 206, перпендикулярно плоскости листа на читателя. Простой способ запомнить направление вращения состоит в применении «правила буравчика» для тока с учетом того, что, как показывает формула (1.2.15), магнитное поле, создаваемое вращающейся частицей, направлено навстречу исходному полю 1J. Радиус-вектор заряженной частицы в магнитном поле как функция времени дается выражением
г (t) = ac [х sin (сос? ф) -f- у cos (сос? Ф)]« (1.2.16)
Здесь магнитное поле направлено вдоль оси z, угол ф характеризует начальное положение частицы, а за начало координат выбран центр орбиты.
Размер круговой орбиты связан со скоростью соотношением
V1 = ассос, (1.2.17)
где ас — ларморовский радиус.
Магнитный момент заряженной частицы, вращающейся в магнитном поле, определяется как произведение создаваемого ею кругового тока на площадь, очерчиваемую орбитой. Магнитный момент можно выразить через энергию частицы и магнитное поле:
jo, = Магнитный момент= ^= (1.2.18)
Магнитный момент представляет собой вектор, направленный противоположно исходному магнитному полю В:
W. .
Ii=------±Ъ. (1.2.19)
Задача 1.2.1. Какова циклотронная частота и радиус орбиты электрона (протона) с энергией 250 кэВ в магнитном поле 30 кГс? Чему равна величина релятивистской поправки?
2.4. Движение в статических электрическом и магнитном полях (E0 Ф О, B0^=O)
