Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Поведение такой системы в линейном приближении изучалось в гл. 9. Оно описывается суперпозицией волн:
Е‘W = J ехр [i (k*x)] Ek (t) dk, (10.2.1)
причем в неустойчивой системе Et растет во времени. Распределение эволюционирует согласно выражению
U = /ао + -(2^jr j ехр (Jk-X)Zak(і)dk, (10.2.2)
причем /а0 в линейной теории от времени не зависит.
Поскольку даже в равновесии существует тепловой спектр плазменных волн, среднюю функцию распределения в случае пространственно однородной плазмы правильно определять как среднее по пространству от истинного распределения /а:
Zao(v, t)=~Y j /а(х, V, t)dx. (10.2.3)
В квазилинейной теории среднее распределение /а0 медленно меняется во времени. Формальное определение (10.2.3) для /а0 позволяет однозначно
НЕЛИНЕЙНАЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
407
отделить быстро флуктуирующую часть Zk (?) exp Uk *х] в /а от медпенно меняющегося вследствие раскачки плазменных волн среднего распределения.
Для простоты рассмотрим плазму, неустойчивую относительно электростатических во мущений, в отсутствие средних полей, т. е.
Решение этих уравнений по теории возмущений записывается в виде
Усредняя уравнения (10.2.5) и используя равенства (E) = 0 и Vx(/) = Ob получаем уравнение для /а0:
где МЫ использовали равенство (E1-VvZai) = Vve(EiZal)* Уравнение ДЛЯ Zal находим, подставляя в уравнение Власова (10.2.5) распределение Za = = /ao + /ai и выражая DfaoIdt из (10.2.7). В результате имеем
Из уравнения (10.2.7) видно, что зависящая от времени добавка к Zao — величина второго порядка теории возмущений. Это поясняет, почему линейная теория не предсказывает каких-либо изменений средней функции распределения.
Для нахождения Ofa0Idt в низшем порядке по E1 нужно вычислить Zal согласно линейной теории. Линейное решение уравнения (10.2.8) можно получить, если пренебречь членами, пропорциональными E1Zai- Кроме того, можно пренебречь зависимостью Zao от времени, поскольку Ofa0Idt есть величина второго порядка малости по E1. В линейном приближении, как показано в гл. 8, имеем следующие выражения:
Здесь частота собственных колебаний со представляет собой функцию волнового числа к и распределения Zao- Эту зависимость находят с помощью уравнения
(10.2.4)
В данном случае поведение плазмы описывается уравнениями
(10.2.5)
a
Здесь
(10.2.6)
(10.2.7)
/ак (t) — / Czkt? >
Et (?) = Еке~ш,
_ Яа Ек 'VyfaO
та і (k-v—to)
(10.2.9)
а
408
ГЛАВА 10
и она дается следующим дисперсионным уравнением:
D (к, ») - 1 —І j J-^nn ± [/„ („) + ?- („)] = 0, (10.2.10)
L
где >)
Zao(W)= j б (u —-щ) /oo(v)dv,
а при интегрировании по скоростям используется контур Ландау, проходящий под полюсом гг = со/1 k |. В отличие от результата, полученного в линейной теории, /а0 теперь, согласно (10.2.7), слабо зависит от времени. Следовательно, от времени зависит также и частота собственных колебаний со, представляющая собой функционал от /а0.
Если учесть, что
<Ei/ai)=--p- j Eifaldx = -y- j dx j Eq/akexp(ik-x)exp(rq-x)-|^3 =
= -fj (10.2.11) и использовать (10.2.9) в (10.2.7), уравнение для /а0 (t) можно записать в виде
wJw- (10'2'12)
Полученное уравнение можно записать в терминах спектральной плотности энергии электростатического поля определяемой следующим
образом:
- <•§>-і j -Tlш- J
<10-213>
Заметив, что для электростатических волн
?к = — *ксрк, уравнение (10.2.12) можно записать в виде
^/aO _ / Яа \2 I f ^к*^-к i Г /.ч . с “I dk____
Т" J P vL I (к-V-O)) (0 K-Vv/cxo
= (“Й“) 8я J k‘V»[ bVv/«0 (^)] -р-
Спектральная плотность энергии Jfk меняется во времени по закону [считаем, что со = (ог (?) + ICDi (?)
ik (O = Sk(O) е2Ч
в силу того что Ek (0 = Еке"ій)< и [вследствие (10.2.10)]
о (к, ?) = —со* (—к, ?);
здесь о* = о)г — і(ді — комплексно-сопряженная величина.
Система уравнений для /а0 (t), ёк (0 и со (к, 2) может быть записана в виде уравнения диффузии для /а0^
= Vv-Dv-Vv/ao (*), (10.2.14)
х) В основном мы будем рассматривать одномерные случаи, и /а0 (и) обозначает одномерную функцию распределения.
НЕЛИНЕЙНАЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
409
где тензор диффузии Dv имеет ВИД
Dv= (—)*&* ( *к(0 ¦ =(-^2-)28п [ гг—”*** ^TTFrfk.
\ та / J i(k-v —(О) I к I2 \ тпа / J (k-v—CD1.)2 +CD2i | к |2 *
и уравнения
—= 2ft>i (к, Ofк («)•
Величина со (к, ?) определяется через /а0 (t) уравнением (10.2.10). Уравнения
(10.2.14) называются квазилинейными уравнениями диффузии; они описывают диффузию в пространстве скоростей. При интегрировании по к в (10.2.14) полюс обходится снизу. Заметим, что последнее выражение для Dv получено с помощью результата, сформулированного в задаче 10.2.1.
Диффузия возникает в результате излучения и поглощения волн частицами плалмы. Некоторые полезные свойства этих уравнений диффузии обсуждаются в § 3 настоящей главы.
Задача 10.2.1. Покажите, что решения уравнения D (к, со) = 0 удовлетворяют тождествам
(ог (к) = — COf (—к); COi (к) = со* (—к).
§ 3. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЧИСЛА ЧАСТИЦ, ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ В КВАЗИЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
