Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
5. Насыщение неустойчивости можно исследовать с помощью уравнения (10.4.9), описывающего эволюцию распределения резонансных частиц и которое выводится точно так же, как в случае затухания Ландау5
д_
dt
(fe 0,
2coPg ді% \ — п
/UJ
При t оо оно имеет асимптотическое решение [при условии, что (* = 0) мало]
feo (и, t — OO)-feo (и, t = O) = -р-оо). (10.5.5)
Распределение fe0 искажается до тех пор, пока оно не становится устойчивым. Устойчивость ((Oi = 0) достигается при
d/ер ______Г)
ди
(10.5.6)
т. е. когда в резонансной области fe0 (гг, t = оо)= const. Такой асимптотический вид fe0 носит название квазилинейного плато. Спектральную плотность электростатической энергии при t ->• оо можно найти интегрированием выражения (10.5.5) по скоростям в резонансной области:
_ о
в-^Г J 1 1 0Kdu'- (10-5-7)
Здесь нижний предел интегрирования U1 совпадает с нижней границей резонансного интервала (фиг. 188). Используя закон сохранения энергии [(10.4.5)
feo
d2fpo/du2< О
feo
Фиг. 187. Эволюция неустойчивой функции распределения электронов и спектральной
плотности энергии волн.
Неустойчивость со временем нарастает.
418
ГЛАВА 10
и (10.4.6)], можно найти полную энергию волн при ?оо:
-L\%hdk= -IA^jfitpe3. (10.5.8)
Из фиг. 188 ясно, что изменение энергии резонансных частиц
к, рез ^ ~2 А (нвшеи2) W ~ пвтеЩ(и2 — wo)>
поскольку изменение скоростей резонансных частиц в среднем равно А и ж ж U2 — U0. Величина пв обозначает плотность частиц в пучке (соответствующая область изменения скоростей в пучке показана на фиг. 188). Полученный результат подтверждает интуитивную уверенность в том, что рост энергии неустойчивых волн ограничен энергией, доступной для неустойчивости и определяемой отклонением распределения от термодинамически равновесного. В рассматриваемом случае эта энергия равна разности энергий исходного распределения с пучком и устойчивого распределения, показанного на фиг. 188 сплошной линией.
Задача 10.5.1. Вычислите интегрируя выражение (10.5.7)
по к (к = (OpeIu) в предположении, что пучок имеет максвелловское распределение. [Указание. Разложите / (гг, t = 0) в ряд Тейлора в точке и = U0, где / (U0, t = оо) = / (U0, t = 0).]
Покажите, что
We = j %k (t оо) dk »
^ щ(к = (йре/и0, / = 0) IbeTne (и2_ щ)3 ^
W---------------------------------
Mpe uO
ж Д (пвтеи2) « пвтещ (и2 — и0), (10.5.9)
где пв — плотность частиц в пучке.
6. Происходит «диффузия» нерезонансных частиц, поскольку их энергия увеличивается по мере развития неустойчивости. Увеличение энергии обусловлено тем, что эти частицы колеблются в поле нарастающих электростатических волы. Измененное распределение нерезонансных частиц можно вычислить из квазилинейных уравнений при условии, что соIk и для основной массы нерезонансных частиц. С учетом этого обстоятельства квазилинейное диффузионное уравнение (10.2.14) записывается в виде [см. уравнение
(10.4.11), полученное при вычислении затухания Ландау]
д/е0,нере3_ і d-fe0 д г „ MOrIim
dt пете dt J lhdk- (10.о.10)
Решение этого уравнения было найдено при изучении процесса затухания
Ландау:
T 1
Фиг. 188. Эволюция функции распределения электронов в области фазовых скоростей неустойчивых волн и образование плато в распределении.
При t = оо распределение становится устойчивым.
НЕЛИНЕЙНАЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
419
По мере возрастания интеграла j %hdk при t-> оо [см.
(10.5.8)] энергия усредненного распределения нерезонансных частиц увеличивается. Это увеличение энергии происходит так, как будто температура [см. форму записи feo, нерез (10.5.11)] возрастает на величину
Tдвижение в волне
= Ctat (10.5.12)
пек J
связанную с кинетической Фиг. 189. Распределение электронов (штриховая
энергией волны. Разумеется, кривая, t = оо), образовавшееся в результате ква-
r J зилинеинои релаксации неустойчивого распреде-
эта величина не есть истинная ления (сплошная кривая, t = 0).
температураI на самом деле Ясно видны области, соответствующие резонансным в нерезонансные частицы ПОД нерезонансным частицам.
действием электрического поля E волны совершают упорядоченное движение (когерентные колебания)* На фиг. 189 представлено асимптотическое (при t -*¦ оо) распределение fe0, построенное в соответствии с формулами (10.5.6) для резонансных и (10.5.11) для нерезонансных частиц.
§ 6- КВАЗИЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ДВУХПОТОКОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
Применение квазилинейной теории не ограничивается случаем, когда неустойчивость раскачивается резонансными частицами. Рассмотрим, например, двухпотоковую неустойчивость в однородной плазме, в которой ионы движутся относительно холодных электронов; это распределение изображено на фиг. 190. Неустойчивость плазмы, связанная с движением ионов относительно электронов со скоростью, значительно превышающей тепловую скорость электронов, рассматривалась в § 3 гл. 9. Распределение, показанное на фиг. 190, состоит из двух ионных потоков, распространяющихся на фоне электронов, и выбрано таким ради простоты, поскольку в этом случае средняя скорость электронов U6Q остается, как ясно из симметрии, равной
