Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Нелинейные взаимодействия между волнами и частицами можно вычислять, используя уравнение Власова. Изложение деталей этих расчетов выходит за рамки данной книги. Здесь мы приведем лишь окончательные уравнения, описывающие поведение полей и функций распределения, и обсудим результаты, вытекающие из этих уравнений.
Предполагая, что постоянное магнитное поле отсутствует, а турбулентность слаба и однородна в пространстве, из уравнения Власова можно вывести систему кинетических уравнений для описания нелинейных взаимодействий. Эти уравнения можно вывести различными методами, и читатель может найти соответствующие детали в монографиях по теории турбулентности в плазме [6]. Однако во всех случаях для замыкания системы уравнений используют приближение случайных фаз\ в этом приближении проведено усреднение по фазам волн (фкфк') = Фк6к-к'> так что в уравнениях участвуют только модули амплитуд волн. Приближение случайных фаз может быть строго получено из цепочки уравнений для средних (по ансамблю), которая выводится из уравнения Власова разложением в ряд теории возмущений. Величины, усредненные по ансамблю, записываются следующим образом:
(/ (х, V, <) >, (/ (X1, V1, t) / (х2, v2, t)), (/ (1) / (2) / (3)), ....
Они удовлетворяют цепочке уравнений
(/(1)) = 6,1(6/(1) 6/ (2) >]„
<6/ (1) б/ (2) > = G2 [(6/(1)6/ (2) 6f (3))],
где б/ = / — (/) — флуктуации функции распределения, причем (б/) = 0.
НЕЛИНЕЙНАЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
433
Величины g, называемые кумулянтами, определяются следующими выражениями:
g% = <б/ (1) б/ (2)>,
g3 = (б/ (1) б/ (2) б/ (3)),
gi ® (б/ (1) б/ (2) б/ (3) б/ (4)) — (1, 3) S2 (2, 4) -
- g2 (I, 4) S2 (2, 3) -gt(I, 2) g2 (3, 4),
Приближение случайных фаз эквивалентно пренебрежению кумулянтами старшего порядка, начиная с четвертого. В этом приближении плотность плазменных волн типа у, определяемая выражением
=
описывается уравнением
OAl
dD(к, со)
дсо
*=сок
D (к, (о?) = 0,
(10.9.1)
ot — T (к, (oil, t) Ni + 2 6(cov_coP—сол_.) Д(к, I, Dy< р, ,) NkN^l +
Р, Tl
+ 2 L [к, I,/(V)IiVtiV1. (10.9.2)
Р, Л, a)k=cofcoIc-I
Операторы T1 R и L, входящие в ото уравнение, мы определим ниже. Три слагаемых в (10.9.2) отвечают различным физическим процессам.
9.1. Линейное (и квазилинейное) взаимодействие частиц с волнами
Первое слагаемое в (10.9.2) является линейным относительно плотности плазменных волн и содержит результаты всей линейной теории волн и устойчивости (гл. 8 и 9), а также квазилинейные поправки, вычисленные выше в данной главе. В явном виде линейное взаимодействие частиц с волнами описывается уравнением
= T (к, (ок, =[2 Im К)+ 2 Im ((D^q +
+SSSL(TTd)IJ*!. <109-3>
здесь Im (со?) обозначает линейный инкремент (декремент), равный
2
Im(юр = п 2 qfyy j 6K-k.v)(k.Vv/«)dv, (10.9.4)
а Im ((Ok)Q — квазилинейный инкремент (декремент), определяемый выражением
Ira (<tf)Q=?.--^-х
* кЮ’ (k, (DV)
X Re ( f---------4-----• (10.9.5)
W CO^—k-v + іє dt cd?—k*v+ie 'e-».+o
Верхний индекс у обозначает определенный тип волн (ленгмюровских, ионнозвуковых и т. д.). Частота представляет собой решение уравнения
434
ГЛАВА 10
D (к, со = (Ok) = 0 для данного волнового вектора к и типа волны Yr a D' = dD/diОк.
В уравнении (10.9.3) член Im ((Ок) описывает линейное затухание (или нарастание) волн. Следующие два члена в этом уравнении дают поправки к линейному затуханию (нарастанию), возникающие вследствие медленного искажения функции распределения /0 [а также диэлектрической проницаемости D (к, со)] за счет процессов испускания и поглощения волн. Изменение функции распределения/о во времени вычисляется согласно изложенной выше квазилинейной теории [уравнение (10.9.5)].
9.2. Резонансное взаимодействие волн
Второй член в уравнении (10.9.2), содержащий множитель
описывает взаимодействие между тремя волнами, которые удовлетворяют следующим условиям:
Эти условия являются резонансными и выделяют пары взаимодействующих волн, каждая из которых представляет собой собственную моду, т. е. удовлетворяет уравнению D (к, со) = 0. Возникающая в результате взаимодействия такой пары третья волна также есть собственное колебание плазмы [она удовлетворяет уравнению D (k2 + к3, (O2 + (O3) = 0]. Такое взаимодействие называется резонансным слиянием мод: этот процесс не связан ни с каким резонансом волны и частиц, а определяется резонансом трех собственных мод системы.
Подобное взаимодействие характерно для любой диэлектрической среды с проницаемостью D (к, (о), в которой распространяются волны. При этом энергия волн может распределяться по многим собственным модам системы, и в зависимости от диэлектрических свойств системы возможно возникновение неустойчивости (т. е. Nb, N\ и AAk-i нарастают во времени).
Кинетическое уравнение, описывающее трехволновые резонансные процессы (без учета линейного, квазилинейного и нелинейного взаимодействия волн с частицами), в явном виде записывается следующим образом:
(10.9.6)
0)V = cog + (ОТ! ,
