Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
§ 7. ЗАХВАТ ЭЛЕКТРОНОВ ОТДЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЕННОЙ ВОЛНОЙ
При изучении плазмы, в которой возбуждено ограниченное число волн, возникают многие интересные и важные нелинейные явления. В данном и следующем параграфах мы рассмотрим несколько примеров. В качестве первого примера рассмотрим нарушение теории затухания Ландау (гл. 8) вследствие захвата частиц одиночной ленгмюровской волной с большой длиной волны [4].
Рассмотрим поле электростатической волны вида
E1 = xEk sin (kx — Mpet), KkDe I, (10.7.1)
в однородной максвелловской плазме в отсутствие внешних полей. Такая волна затухает согласно теории Ландау за время
Xl = \V~T (kXDe)3 exP ( — 2pjT 2-)] • (10.7.2)
Линеаризация уравнения Власова, с помощью которой было получено затухание Ландау (§ 6 гл. 8), основана на предположении, что траектории частиц слабо возмущаются полем волны. Электрон, движущийся со скоростью, почти равной скорости волны, колеблется в потенциальной яме согласно уравнению mx = —eEh sin кх ^ —еЕк кх с периодом
1?--?- (,0-7-3>
Это простое гармоническое колебание в ямах плазменной волны сильно возмущает траекторию частицы, и все линейные расчеты, зависящие от распределения захваченных частиц, перестают быть верными при t > тт. Применимость или неприменимость теории затухания Ландау зависит от распределения частиц, движущихся примерно со скоростью волны. Поскольку эти резонансные частицы захватываются раньше всех, теория Ландау применима, лишь если
TlCxt. (10.7.4)
Чтобы полнее продемонстрировать, что при t> %т линейная теория неприменима для описания одиночной волны, рассмотрим решение линеаризованного уравнения Власова для функции распределения /е = /0 + /і в поле волны E1, определяемом выражением (10.7.1):
НЕЛИНЕЙНАЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
423
Считая, Eh и /о не зависящими от времени, решение уравнения (10.7.5) можно записать в виде
/ t(x, и, t) = fl(u, t =- 0) cos (кх — kut) —
dfo Г cos (кх Mpet) cos (кх — kut)
-і-e *4г-Г-
т ди L
/см — GD
/CM-------(!)
ре
]. (10.7.6)
Разложив (10.7.6) вблизи и = (о1)е/к, можно видеть, что
Sfі I
Ou I иям>ре!к
ре'
^kEh р Of0
т ди
cos (кх — (opet)
Отсюда следует, что линейное рассмотрение (Of1Idu^ Of0Idu) в резонансной области становится некорректным при
t :
/т
что совпадает со временем захвата частиц, определенным в (10.7.3).
Можно найти нелинейное решение уравнения Власова, заметив, что уравнение
-Jff(x, U, t) + u-^rf(x, и, t)-\--^-Ehsin{kx — ti>pet)-^-f(x, и, *) = 0 (10.7.7)
ди
эквивалентно следующей системе уравнений:
JL/[*'(*'), и'(П, п = 0,
(10.7.8)
(10.7.9)
Xf (t' = t) = X,
U' (t' = t) = и.
Эта система уравнений выражает тот факт, что функция распределения / постоянна вдоль траектории частицы с зарядом q и массой тп в электрическом поле Eh.
Фазовые траектории захваченных и незахваченных частиц можно неявно записать через эллиптические функции. На фиг. 191 схематически показаны такие траектории. Решение уравнения Власова с заданными начальными условиями имеет вид
/ (х, U1 t) =
= / Ixi (t' = 0), и' (t' = 0), 0],
поскольку решение / = const удо- TN влетворяет уравнению (10.7.8). f(x,v) Начальные условия, соответствующие заданной форме поля E1, можно записать в виде
/ (х0, и0, 0) = /о (U0) +
+ h (uQ-, t = 0) cos кх01
A ^ {Пролетные электроны Запертые электроны
В > Пролетные электроны
Фиг. 191. Фазовая диаграмма, демонстрирующая захват частиц полем волны конечной амплитуды [5].
Фиг. 192. Затухание волны конечной амплитуды [6].
Показано, что захваченные частицы меняют линейный режим затухания
где
х0(х, и, t) = X (Ґ = 0)
и
Uq (х, U, t) = U (t' =0).
Медленно изменяющуюся амплитуду Eji волны при захвате частиц находят из закона сохранения энергии:
д Г ЕЬ • 2 7 Л ^ Г 1 9 5 ,
"IT J Ж8111!A*d*= w=j тти-l—uU)du,
-я/ft
n/k
<n=4r ) >**¦
-n/h
На фиг. 192 показано изменение амплитуды Ek (?), полученное с помощью описанной выше процедуры, в которой учитывалось влияние лишь резонансных частиц. На временах t < тт волна затухает по Ландау. При t ^> тт поле Eh осциллирует, приближаясь к постоянному значению. Проведенное рассмотрение не зависит от знака величины со*, и поэтому захват частиц существенно изменяет также и инкремент нарастания волн при t > тт.
§ 8. ПЛАЗМЕННО-ВОЛНОВОЕ ЭХО
Теория когерентных волн предсказывает интересное явление, которое может быть изучено с помощью уравнения Власова,— плазменно-волновое эхо [7]. Его суть состоит в том, что если квазимонохроматическая волна, спектр которой сосредоточен вблизи Zc1, затухает по Ландау, то функция распределения плазмы остается возмущенной (см. § 7 гл. 8) и имеет следующий вид (для ясности рассмотрим одномерную плазму):
/a=/ao+/afti(w, t = t{) + . . . .
Здесь мы не выписали члены, пропорциональные E1 (?), которые затухают по Ландау. Добавка к функции распределения, пропорциональная ехр (Ik1Ut)4 называется баллистическим членом; эта добавка не порождает электрических
полей, поскольку j ехр (Ik1Ut) / (и) du->- 0 с ростом ?. В баллистическом
