Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
С G (и) du_ С G (и) du лі со \
J ки-<о~~У1си — ® +TTf VTkTг
Заметим также, что вкладом ионов в Фиг. 182. Функция распределения элект-энергию волны, поскольку VfieImi^t 1, ронов по скоростям и.
можно пренебречь. Тогда уравне- A <a/ft)
х) Этот вопрос был исследован Веденовым, Велиховым и Сагдеевым [15*].— Прим. ред.
2) При Coi > 0 интегрирование по к ведется вдоль вещественной оси. При (Oi < О интеграл по к представляет собой аналитическое продолжение интеграла при (Oi > 0.
412
ГЛАВА 10
ниє (10.3.8) записывается следующим образом:
Ir j T nemeu2fe0du = —2(0Ie j І(ки-а>) "ITTdu +
I dk. (10.4.4)
u=to/|k| J 4 '
і „ M d/eo
I к I ди
Задача 10.4.1. Решив задачу с начальными условиями, докажите, что интегрирование по к должно выполняться по контуру Ландау.
Первое слагаемое в правой части уравнения (10.4.4) описывает изменение энергии нерезонансных частиц; второе слагаемое дает изменение энергии резонансных частиц (со = ки). Сравнение последнего слагаемого в (10.4.4) с выражением (10.4.2) для о* показывает, что d
(Кинетическая энергия резонансных частиц) =
= —4 j (oShdk= -2 Aj dk. (10.4.5)
Поскольку электростатическая энергия j %hdk убывает в процессе затухания
Ландау, кинетическая энергия резонансных частиц возрастает на величину, равную удвоенному значению уменьшения электростатической энергии. Однако, как показано в (10.3.9), полное изменение кинетической энергии равно и противоположно по знаку изменению электростатической энергии. Таким образом, баланс энергии приводит к следующим равенствам:
(Кинетическая энергия нерезонансных частиц) = -jj— f %к dky
a d г (10А6>
-jjj- (Полная кинетическая энергия) = —jjy- \ %ъ dk.
Нерезонансные частицы при затухании электрического поля волны теряют свою энергию. Эта энергия (механическая) связана с колебаниями частиц в поле волны, и, естественно, при уменьшении %h она также убывает. В случае волн с отрицательной энергией можно было бы записать
-jjj- (Кинетическая энергия нерезовансвых частиц) ---jjj- ^ Ши dk.
В случае ленгмюровских волн, рассмотренных здесь, механическая и электростатическая энергии равны друг другу, но для волн других типов такое равенство, вообще говоря, не соблюдается и выполняется следующее соотношение:
д [cdZ) (к, со)] f & J1 Энергия волны = -----^----- \ еъ, Un
[как было показано в формуле (4.3.10)]. Ho и в общем случае полная энергия при затухании волн сохраняется.
Наряду с изучением баланса энергии интересно посмотреть, как изменяется fe0 при затухании волн. Удобно снова отдельно рассматривать резонансные и нерезонансные частицы, записав квазилинейное диффузионное уравнение (10.2.14) в виде
Ofe о (и« со/к) 8л2е2 д і <g ^ ^ / ^ со \
Jt HTlT ®h=4>/“ілг\и ftfJkT/ —
8л2<?2 ф Id2,/ (о \ /лп / п\
—&=«>/« и fe0 [и ^ TkT) ’ (10-4-7)
j $hdk= j 2to,gft dk;
НЕЛИНЕЙНАЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
413
I ~0
t=tr
Фиг. 183. Эволюция функции распределения электронов и спектральной плотности энергии волн при затухании
сделанные здесь приближения оправданы в силу предположения о том, что скорость волны больше тепловой скорости (а!к > У^кТе/те). Поскольку, как это следует из распределения на фиг. 182, O2Je0Idu2 > 0 при со ^ ки, /е0 в резонансной области растет, в то время как энергия волн убывает. Такой процесс проиллюстрирован на фиг. 183, где для ясности размеры резонансной области увеличены. В области поглощения волн распределение становится более плоским. Это в свою очередь приводит к уменьшению декремента Oi, пропорционального Ofa0IOu1 как показано на фиг. 184.
Если энергия волны достаточно велика, затухание может прекратиться при конечной амплитуде волн. При малой же энергии волны затухают, прежде чем в распределении fe0 образуется плато.
Уравнение, описывающее временную эволюцию распределения в резонансной области, можно получить, если заметить, что с учетом (10.4.2)
8я2е2 д т'І ди
dfe о
du
2(0
ре
did
u=co/| k I
пете
du и3 dt
(зі/и»
(10.4.8)
Используя это тождество, уравнение (10.4.7) для распределения резонансных частиц можно записать в виде
W
2со
ре
рез ¦
YleTne
du и3
%h=(nfu j — 0.
(10.4.9)
Если начальная энергия колебаний в плазме не слишком велика, %h асимптотически приближается к нулю. В этом случае распределение в резонансной области и ж со/& дается выражением
fe0, рез (и, t = оо) = fe0 (и, t = 0) —
2со
ре
d 1
du U3
%к=<й/и (? — 0),
(t = оо) = 0. (10.4.10)
Фиг 184. Изменение декремента затухания щ со временем t для волн с к = со/и.
414
ГЛАВА 10
Фиг. 185. Функция распределения электронов до и после того, как начальное волновое
возмущение затухло.
Интегрируя выражение (10.4.10) по области, соответствующей скорости резонансных частиц, и учитывая, что по определению на границах этой области Ши=ы/и 0, имеем
J feo(u, t = оо) du = j feo(u, t = 0) du.
По резонансной По резонансной
области области
Отсюда следует, что число резонансных частиц остается неизменным. Задача 10.4.2. Выведите уравнение (10.4.8).
