Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Распределение вне резонансной области нетрудно найти, заметив, что для основной массы нерезонансных частиц
(ог ки.
Следовательно, коэффициент диффузии в пространстве скоростей для нерезонансных частиц не зависит от и. Поэтому, пренебрегая величинами ки и со* по сравнению с сог в (10.4.3), можно записать диффузионное уравнение
(10.2.14) в виде
Диффузия нерезонансных частиц слабо влияет на распределение, поэтому в (10.4.11) допустимо сделать следующее приближение:
дЧеО _ дЧе0(и, t = 0) ди2 ~ ди?
После интегрирования в (10.4.11) [в предположении, что %и (t = оо) = 0] получаем
fe 0, нерез (uI t = °°) = fa о (? = 0) =г— ^ (t = 0) dk. (10.4.12)
Формулы (10.4.10) и (10.4.12) описывают изменение /е0 в процессе затухания Ландау спектра ленгмюровских волн малой энергии. Это изменение функции распределения показано на фиг. 185.
НЕЛИНЕЙНАЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
41S
Из (10.4.11) можно получить и другое уравнение для определения /^ при t ->• оо. Вводя обозначение
x = -J—\%kdk, [(10.4.13)
пете J
уравнение (10.4.11) можно записать в виде
dUо _ d2/go дх ди2
Частное решение этого уравнения записывается следующим образом: /--/? *
Y -J-
f YltJYlp J Є
X
X ехр
Uhdk^)
(10.4.14)
Из решения (10.4.14) видно, что энергия волн играет роль «температуры» распределения в области нерезонансных частиц, убывающей по мере затухания волн. Таким образом, максимум fe0 становится более острым: это видно также из фиг. 185.
Изложенные в данном параграфе методы можно с равным успехом применять и к распределению, неустойчивому (слабо) относительно ленгмюровских колебаний (см., например, § 5 настоящей главы).
Задача 10.4.3. Найдите изменение функции распределения ионов в процессе затухания Ландау ленгмюровских колебаний.
Задача 10.4.4. Покажите, как меняются во времени электрические поля и функции распределения ионов и электронов в одномерной плазме, которая при t = 0 описывается распределением
<¦¦•= (^skrYriaV (тЗг)-
ь-{-&г)'п "*(=&)•
причем Te ^ Ti. Пусть в такой плазме возбуждены ионно-звуковые волны (см. § 9 гл. 8) с частотой
__ UC8 “Г_ I/! + (JAd,)* в интервале волновых векторов
0</с<^—.
Вычислите, как распределена энергия между электрическим полем волны и резонансными и нерезонансными электронами (ионами).
§ 5. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ТЕПЛОГО ПУЧКА В КВАЗИЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
Линейная теория плазменных волн предсказывает, что волны в неустойчивой плазме растут все время. Такой результат не соответствует действительности, поскольку нелинейные эффекты в конце концов изменяют функцию распределения. Для изучения нелинейных эффектов в неустойчивой
416
ГЛАВА 10
Фиг. 186. Функция распределения электронов с дополнительным максимумом на «хвосте» и интервал фазовых скоростей неустойчивых волн (волнистая линия).
плазме можно использовать квазилинейную теорию. К одному из неустойчивых равновесных распределений, которое просто проанализировать с помощью квазилинейной теории, относится функция распределения теплого пучка.
Эта функция распределения, показанная на фиг. 186, состоит из изотропного максвелловского фона и движущегося относительно него пространственно однородного теплого электронного пучка. Данное распределение, подробно разобранное в § 4 гл. 9, неустойчиво относительно ленгмюровских колебаний, фазовые скорости которых лежат в некотором интервале Д (со//с). Эта неустойчивость является слабой, поскольку инкремент со* гораздо меньше частоты колебаний сог. Тем не менее за достаточно большое время начальные возмущения в плазме вырастают настолько, что линейная теория становится уже неприменимой, и нелинейные эффекты приведут к искажению функции распределения fe0 (и, t), а это в свою очередь вызовет изменение инкрементов,
поскольку COf ~ (dfe0ldu) |u=aJ/fc. _______
Если скорость пучка U0 намного превышает тепловую скорость YкТе/те, то свойства неустойчивых волн соответствуют рассмотренным в предыдущем параграфе, где были вычислены квазилинейные эффекты при затухании Ландау ленгмюровских колебаний. По-прежнему справедливы следующие результаты, полученные в § 4 настоящей главы:
1. Электростатическая энергия тех волн, фазовые скорости которых лежат в интервале А (со/&), отмеченном на фиг. 186, увеличивается. В этом интервале Ofe0Idu >0 и имеют место следующие соотношения:
CD;
J1 Q)j>r dfe0 (ц)
u=G)r/|k|
(10.5.1)
CO
ре-
2 к2 ди
(Or = (Ope (1 + -|- кгКЬе)
2. Увеличение электростатической энергии происходит за счет энергии резонансных частиц пучка:
d
dt рез = - 2 j gft dk. (10.5.2)
3. Половина энергии, теряемой резонансными частицами, переходит в электростатическую энергию; другая половина переходит в энергию нерезо-пансных частиц, связанную с их колебаниями, т. е. в механическую энергию волн:
IF Wk> liePe3:
-4-гг
4. Диффузия резонансных частиц описывается уравнением
d х / ^ ® \ 8п2е2 I d2 ^ ( со \
л-/*о^«-jTj-j— dU2 |ki; •
(10.5.3)
(10.5.4)
НЕЛИНЕЙНАЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
417
Таким образом, об эволюции волн и искажении функции распределения в резонансной области можно судить по (Pfe0Idu2 в области, где dfe0ldu > 0. На фиг. 187 представлена качественная картина такой эволюции.