Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
X фк-к', внеш (Pi) (к к ) • Vv X
____________________k^Vy/aO_____________________
Х D(к, ip) ?(к— к', ip2)D(k\ iPi){k'-x — ip) (k'-v — ipi) X
X Фк', внеш ІРі) 2^ii * (10.8.8)
'Дальнейшие итерации позволяют получить вклады высшего порядка в потенциал фк.
Для того чтобы применить этот формализм в задаче о плазменно-волновом эхе, рассмотрим одномерный случай, т. е. v и, к к, и предположим, что внешний потенциал создается высокочастотным полем (следовательно, можно считать ионы неподвижными). Пусть, кроме того, внешний потенциал состоит из двух импульсов, посылаемых в моменты времени t = T1 и ? = т2:
Фвнеш {х, t) = Afi [(Ope (t— T1)] cos ktx -)- A2S [copp (t — T2)] cos k2x; (10.8.9) здесь A1 и A 2 — постоянные амплитуды, и предполагается, что
к2 > /Cl > 0. (10.8.10)
Образ Фурье — Лапласа этого внешнего потенциала имеет простой вид Фк, внеш (р) — 1 [б (кі — к) 8 (?! -|- к)] e~pXl -J-
wP с
п A2
ире
[б (А, - А) + 6 (Л, + Л)] в-р**, (10.8.11)
428
ГЛАВА 10
X
что позволяет выполнить интегрирование по dk' в (10.8.8). Произведение
cPft-Ь', внеш (рг) cPfc', внеш (Pi) состоит из 16 слагаемых. Ниже мы рассмотрим лишь те из них, которые, будучи проинтегрированы по кдают в ф(2> вклад, пропорциональный
б (к — к2 + кг).
Задача 10.8.1. Покажите (прочитав до конца § 8 настоящей главы), что для плазменно-волнового эха существенны лишь члены, пропорциональные б (к — к2 + ^i)-
С учетом принятого ограничения И используя ДЛЯ CpfcfBueiu выражение*
(10.8.11), мы можем записать ф&2) в виде [функция /а0 (и) определяется из.
(10.2.10)1
Р0іИ°о Р02 + І°°
rn(2) / n\ TLeAiA2 Г і Г dpi Г 6 (к к2 ~Ь к\)__к\к2
Фй (P) — 2тек2 J J 2ni J P-Pi-Pi D (к, ip)
P0I -Іоо Р02 - »<*>
Г__________е-PlTle-P2T2___________Q , j Q ч
Х L D( — Zc1, ipi) D (к2, ip2)(ku—ip) ди \ к2и—ip2 ди *а0) ‘
і___________,-Pmg-Pgg2_____________д і i______________я \'l dp2 M0 8 12V
~ D (— Arb ip2) D (Ar2, iPi)(ku—ір) ди \ —к{и—ip2 ди jaoJj 2яг * \ * * /
Это выражение можно упростить, если проинтегрировать его по частям относительно и и в первом члене поменять местами P1 и р2:
Poi-H 00
dDt
POi - І»»
Р02-Иоо
f б (A- Zc2 + kj) kjk2e-Pi^e-Pff2_____
J (P—Pi—P2,)D(k, ip) D (— ki, ipi)D(k2, ip2)
P02- i°°
X IduIlhs.) ^ (to-tp) + «(p-^rp,) tfPL. (Ю.8.13)
J \ du J (ku — ip)2 {kiU+ipi) (k2u — ip2) 2m v 7
Уравнение (10.8.13) содержит полную информацию о членах второго порядка в разложении потенциала, но большая часть этой информации не имеет никакого отношения к эху. Чтобы проявить всплеск потенциала (т, е. эхо), после того как два наложенных извне первичных сигнала затухли по Ландау, нужно при обращении (10.8.13),
Po-H 00
j ~№(p)evidp, Po > Po,+ />02,
PO-Іоо
пренебречь полюсами, соответствующими равенствам D (Zr, ip) = Or D (к2, ip2) = 0 и D (—&!, ipi) = 0; эти полюса приводят к затухающим потенциалам ф(2> — и не существенны при t больше нескольких | сої"1 |. Интегрирование по dp2 удобно выполнить, если замкнуть контур справа, как показано на фиг. 194, и учесть вклад от единственного полюса при
Рг = P — Pi- (10.8.14)
Множитель ?~Р2т2 обеспечивает убывание подынтегрального выражения на части контура, отмеченной на фиг. 194 буквой Г (вот почему контур интегрирования по dp2 и был замкнут справа).
При вычислении вклада от полюса (10.8.14) заменяется
на єрі(т2-ті)?-р2Т2? и, поскольку T2 > T1, при интегрировании по P1 контур
р о It-г OO
(Pl2* fpW KeAiA2 Г dpj
tPfc (P) ~ 2те№ J 2яі
НЕЛИНЕЙНАЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
429
(2)
'Фиг. 194. Контур, используемый при вычислении интеграла в формуле обращения для ерь 1— полюса функции (р2) лежат левее pos; 2 — полюс р — Pi — Pt — 0 лежит правее P0?,
поскольку Re P > Poi + Рог*
должен быть замкнут слева (фиг. 195). В пренебрежении полюсами D=O,
которые дают решения, затухающие по Ландау, единственный вклад в Jdpj
происходит от полюса P1 = Hc1U.
После интегрирования по и р2 потенциал ф^2) принимает вид
Ро+го°
‘оо
eifeiu(T2-Ti)
D (Ar, ip) D{k2y ip-\-ik\u) D (— —kiu) {ku — ip)2
Основной вклад в интеграл по р дает полюс второго порядка
^(2» /*\___ j^g л a ікк{к2
л®
РО-Іоо
X
du.
(Аги—ip)2 *
и мы имеем
пе
2т.
<Рь
{і)=,^-АіА2ікк^6(к-^+кі) (t-ra) X
v f d/eo exp { — t/ск [t — T2 — kj (т2 — Ti)/Ar]} -, Z1AO
X J ди D(k, ки) D (Ar2, k2u)D(-ku -JciU) au'
В начале данного параграфа уже указывалось, что ф!г2>(?) обычно мало, так
как подынтегральное выражение в интеграле по и является быстро осцилли-
рующей функцией и. Однако при
= T2+ --(T2-T1) (10.8.16)
фь2) не мало, поскольку
ехр [—iku (t — т')] « 1.
Структура плазменно-волнового эха зависит при заданных Ar1 и Zr2 от функции распределения по скоростям fp0. Пусть, например, волновой вектор к настолько велик, что
D (&2, к2и) ж D (—Zc1, —кги) ж
ж D (к, ки) ж 1.
Im P1I
X /
X г
X 3
Re Pi
Фиг. 195. Положение полюсов в
ПЛОСКОСТИ P1.
1 — точка, в которой D (—fe, ip) = 0; 2 — полюс при U1V + грі = 0; 3 — полюс при кгV — — гр грі=0.
