Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть для простоты плазма, распределение в которой имеет вид (9.13.1), находится в однородном магнитном поле B0 = і?0іц. Предположим, что кинетическое давление плазмы мало по сравнению с магнитным:
<9л3'3>
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ
395
Средняя плоскость I
а
K1M
Фиг. 179. Схематическое представление магнитного поля пробкотрона (а) и функции
распределения плазмы (б) [18].
Распределение плазмы анизотропно из-за наличия конуса потерь и неустойчиво вследствие возникновения специфической конусной неустойчивости.
Это ограничение позволяет рассматривать лишь электростатические неустойчивости, поскольку электромагнитные неустойчивости возмущают магнитное йоле и приводят к увеличению его энергии. В самом деле, однородное равновесное магнитное поле B0 обладает минимумом энергии. Если кинетическое давление мало [см. (9.13.3)], любое уменьшение энергии частиц (при электромагнитных возмущениях) с избытком компенсируется увеличением энергии ПОЛЯ.
Дисперсионное уравнение для волн в замагниченной плазме было получено в гл. 8. Для электростатических волн E = .Er (к/1 к |) ехр Ii (к-х—Gtf)] при P <С 1 оно имеет вид
*2 = 2“р«2я j S ~v Zi (k ^ Ii -?1'+ ) dv^ dv 'I ’ (9-13-4)
a n
где |v = (ux, Vln і;ц) == (i;±cos 0, V1 sin 0, і;ц), причем к = (kx, ky, /сц) = = (k± cos ?, kL sin \|), &ц) (см. задачу 9.13.1).
Нахождение всех решений уравнения (9.13.4) — процедура довольно утомительная. Ее можно значительно облегчить, если сделать следующие разумные предположения:
396
ГЛАВА 9
1. Поскольку электроны по предположению имеют изотропное распределение, они не вносят дестабилизирующего вклада. Наоборот, электроны обычно способствуют затуханию Ландау. Следовательно, скорее всего неустойчивыми будут те возмущения, для которых это затухание ничтожно:
(9.13.5)
/С,|
где vT — тепловая скорость электронов. Это ограничение, накладываемое на йц, мы будем использовать в дальнейшем исследовании.
2. Целесообразно рассматривать лишь волны, длина которых больше электронного ларморовского радиуса aLe:
/сіас2е<1. (9.13.6)
Это требование совместно с (9.13.5) означает, что электроны можно рассматривать как холодную жидкость (отвлекаясь от затухания Ландау и от распределения электронов по скоростям). Неравенство (9.13.6) позволяет в уравнении (9.13.4) пренебречь всеми членами, кроме п = 0 , в сумме по п, определяемой распределением электронов, поскольку Jn ж (к2а2се)п. Неравенство (9.13.6) называют пределом малого ларморовского радиуса. В силу условия (9.13.5) можно написать следующее разложение:
1 1 k»Vn
CO — ^lIyIl to ~ CD2
В результате уравнение (9.13.4) принимает вид
+ S ( J*(t^/<%|) '2Vn (W1 >+*¦<*¦ (Wn)I (9.13Л)
CD2 11 V J Л.| V и +TUDci- to 4 г
п 11
Задача 9.13.1. Покажите, что дисперсионное уравнение (9.13.4) может быть получено следующими двумя способами:
а) путем вычисления плотности заряда Q1 = ^naqa\fald\ [где
a J
/аі дается выражением (8.10.8) в предположении B1 = 0] и последующего использования уравнения VeE1 = 4ярх;
б) путем перехода к пределу (5 <С 1» кс^> со в дисперсионном уравнении (8.10.10).
Сравнение с результатами гл. 4 показывает, что член (о)ре/(о*) &|* описывает отклик холодной электронной жидкости на электростатический потенциал фк. По этой причине приближения (9.13.5) и (9.13.6) часто называют пределом нулевой температуры, хотя на самом деле они представляют собой ограничение на длины рассматриваемых волн.
Член в уравнении (9.13.7), описывающий вклад ионов, можно упростить* воспользовавшись тождеством
и заметивА что* поскольку
^pe ^ (Орг»
вещественной частью интеграла, описывающего вклад ионов, можно пренебречь. Тогда, согласно (9.13.7),
(Or = Wpe^L. (9.13.8)
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ
397
Однако мнимой частью ионного слагаемого пренебрегать нельзя, так как ею определяется инкремент (Of. С учетом этих замечаний дисперсионное уравнение (9.13.7) принимает вид
0)^ = 0):
3.
1PC к2 к
, о . VI 2я
+(ояі2-*г Jtm
ди\
е,“
5f]*:
+ П(Oc
с. і
(9.13.9)
Это уравнение описывает высокочастотные электростатические волны. Далее, поскольку при оценке электронного вклада было использовано неравенство о) йці>ц, чтобы пренебречь затуханием Ландау, неравенство
(О
T > vTi
(9.13.10)
тем более выполняется, если только температура ионов не чрезвычайно велика. Поэтому ионный вклад в неустойчивость существен лишь тогда, когда
(X)-U(X)ci ж 0, (9.13.11)
4l ,MtUtC
Фиг. 180. Графики функций, фигурирующих при вычислении конусной неустойчивости.
поскольку только при таком условии равенство АцУц ~ (о — TKxici выполняется при уц порядка тепловой скорости ионов. Ho со определяется плотностью электронов, т. е. со < (дре, так как Ац ^ к. Таким образом, условие (9.13.11) может выполняться лишь при достаточно высокой плотности. Это ограничение представляет собой необходимое условие существования неустойчивости, ибо в противном случае вклад дестабилизирующего члена пренебрежимо мал. Следовательно,
