Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кролл Н. -> "Основы физики плазмы" -> 170

Основы физики плазмы - Кролл Н.

Кролл Н., Трейвелпис А. Основы физики плазмы — М.: Мир, 1975. — 526 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovifizikiplasmi1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 164 165 166 167 168 169 < 170 > 171 172 173 174 175 176 .. 226 >> Следующая


В столкновительной плазме условие «достижимости» выражается неравенством dS/dt ^ 0, где S — энтропия; в бесстолкновительной плазме уравнение Власова ограничивает возможные движения более жестко. В частности, определяемая (классически) для каждого сорта частиц энтропия

S~j/ln/dxdv (9.14.1)

постоянна, если / подчиняется уравнению Власова. Таким образом, можно оценить сверху энергию полей в неустойчивой плазме, найдя состояние плазмы с минимальной энергией частиц, но той же энтропией (что и в начальном состоянии), поскольку в любой момент времени

Энергия поля + Энергия плазмы = Энергия поля + Энергия плазмы при t — 0.

(9.14.2)

Задача 9.14.1. Докажите, что j G (f) dx dx сохраняется постоянным

для всякой изолированной системы, в которой / подчиняется уравнению Власова.

Однако сохранение S является лишь одним из множества законов сохранения, выводимых из уравнения Власова (см. задачу 9.14.1), и, возможно, с помощью одного из них можно получить лучшую оценку энергии полей. [Два состояния с одинаковой энтропией не обязательно имеют одни и те же

значения интеграла j G (/) dx d\ при всяком G\ в этом случае нельзя перейти

из одного состояния в другое, не нарушая уравнения Власова, которое

требует сохранения j G (/) dx d\ при любом G (/).] По контрасту с анализом

устойчивости методом собственных колебаний, в котором «правила игры» пусть сложны, но всегда ясно очерчены, термодинамический подход — нахождение наиболее полезных ограничений на возможные состояния системы — является искусством, а не наукой х), поскольку здесь нет определенных предписаний, как проводить исследование.

Обычно в термодинамическом подходе поступают следующим образом:

1. Определяют обобщенную «свободную» энергию

H= f G(v,x,f)dxdv + j (*L+*L)dx. (9.14.3)

*) Правильнее было бы сказать: а не ремеслом.— Прим. ред.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ

401

2. Выбирают G таким образом, чтобы интеграл от G был минимален для некоторого" известного распределения /= /0:

j [G (х, у, /) — G (х, у, /0)] dx d\ > 0 (9.14.4)

3. Определяют изменение Я во времени, если / подчиняется уравнению Власова

T-S J f-ТГJ MrI-TS-)*- <9Л4-5>

а

Следующий шаг зависит от выбора функции G. Например, если G выбрано так, что Я есть интеграл движения, тогда с помощью (9.14.4) можно получить верхнюю границу энергии волновых полей:

j ("Ії' + 'іІг) йх<я(* = °) — j G(x. v, f0)dxd\. (9.14.6)

Иногда G выбирается так, что, хотя Я не сохраняется, можно из (9.14.5)

вычислить

I dH I H dt |макс

В этом случае неравенство

С #2-fB2



dx^CH (t) — j G (/о) dx d\

можно использовать для нахождения максимального инкремента неустойчивых волн в плазме с распределением /а,

1 1 dH І /П л /

макс ~2 ~jj JT |макс * (9.14.7)

Сейчас мы рассмотрим примеры использования этого подхода,, подробно описанного в статье Фаулера [19].

14.1. Оценка энергии флуктуаций

^Возможный выбор G (/), при котором функция Я, определяемая выражением (9.14.3), становится интегралом движения, дается формулой

G (х, V, /) = 2 Tnam*v2fa + G1 (/)-f-const. (9.14.8)

а

Если / подчиняется уравнению Власова, то

4 j GiWdxdv = 0 при любом G1. С другой стороны, мы имеем

2 Па j T ma>v2'/a ^x dv + j —І— dx = Полная энергия системы = const.

GE

Например, если G1 = / In /, то Я имеет вид свободной энергии

H = U — TSy (9.14.9)

где S — энтропия, a U — сумма кинетической и электромагнитной энергии плазмы, но Я сохраняется постоянной и при любом другом выборе G1.

Нетрудно видеть, что j G dx d\ [где G определено формулой (9.14.8)] имеет

минимум, поскольку V2 mu2f — положительная величина:

j G (/) dx d\ ^ j G1 dx d\,
402

ГЛАВА 9

причем равенство имеет место при / = 8 (у). Уравнения (9.14.3) и (9.14.8) дают в совокупности оценку верхней границы поля волны, записываемую при G1 = 0 в следующем виде:

j ^~5Г~ 2 j I-m^2Za (v’ *-0)dxdv+ j ( ?28дД2 )t=0 dx- (9.14.10)

a

Это, конечно, тривиальная оценка, выражающая тот факт, что приращение энергии полей ограничено энергией частиц при ? = 0. Лучшую оценку можно получить, выбрав G1 (/) так, что G (х, у, /) имеет минимум для распределения, энергия которого больше нуля.

Полезным может оказаться выбор G1 (/), при котором

j G(x,v, f)dxdv -= 2 па j [xT^/aln-^-—/а) — a

— У-Та (/о /о) + (/a— fo)-Y TnaV2^dxdV, (9.14.11)

где суммирование производится по всем сортам частиц, а

А_с.« P (-4?!).

При таком выборе функция G имеет следующие свойства независимо от значений параметров Ca и Ta:

1) H = j Gdxdy -г j ^—^—dx = const;

2) j G (x, v, /) dx d\ > j G (x, f = f0) dx d\ = 0.

Из этих двух свойств вытекает следующее ограничение на энергию поля волны:

J dx<j -g2Sng2 I^odx+ 5 G[x’ V, /(t=0)]dxdv. (9.14.12)

Далее, поскольку (9.14.12) справедливо при всех Ca и Ta, эти константы

должны быть выбраны так, чтобы минимизировать j G [х, v, / (t = 0)] dx d\.

Смысл оценок (9.14.10) и (9.14.12) совершенно ясен. Из (9.14.10) следует, что энергия поля в неустойчивой плазме не превышает полной начальной энергии. Уравнение же (9.14.12) утверждает, что в действительности к флуктуациям поля может перейти лишь часть энергии частиц — энергия, которая высвободилась бы при релаксации от / (t = 0) до /а0 = Ca ехр (—таи212кТа). Выбор максвелловского вида функции /а, а также G не однозначен, и другие варианты, возможно, дадут лучшие оценки.
Предыдущая << 1 .. 164 165 166 167 168 169 < 170 > 171 172 173 174 175 176 .. 226 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed