Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 8.6.4. Откуда возник множитель ехр (—3/2) в (8.6.4)?
Задача 8.6.5. Обсудите различие между (8.6.4) и результатами § 4 гл. 4.
Задача 8.6.6. Вычислите P1 и P1 непосредственно из функции /х и покажите, что для ленгмюровских колебаний рх и P1 связаны соотношением pp“v = const, где у = 3.
[Указание. Д (рр~у) = 0.]
Фиг. 140. Зависимость времени затухания Ландау в единицах 2л/(оре от hkj). Как показано в тексте, теория справедлива
ЛИШЬ ПРИ /іЯ,]} 1.
310
ГЛАВА 8
Задача 8.6.7. Небольшой осциллятор, помещенный в плазму в точке х0, поддерживает плазменные волны с небольшой постоянной амплитудой и заданной частотой со0 > (ор. Найдите потенциал (х, t) в плазме вдали от осциллятора.
(Указание. Это задача с заданными граничными условиями, а не с заданными начальными значениями.)
Задача 8.6.8. Покажите, что если искать решение в виде фх (х, t) = ф ехр (?k*x + ш?)
[а не ехр (—іwt)], то контур интегрирования по скоростям в (8.5.7) должен по-прежнему проходить ниже полюса.
6.2. Общий метод решения уравнения D (к, со) = 0 при слабом затухании или усилении
Полезным методом нахождения нулей диэлектрической проницаемости D (к, о), соответствующих слабозатухающим волнам, является разложение в ряд интегралов по скоростям вблизи (О = (0Г. При (О* (Or
D (к, CO) » D (к, (Or) + to, ¦ (8.6.9)
Диэлектрическая проницаемость D (k, (Or) содержит комплексный член
Iim f dFa0/du д еІ+oJ и-«>г/\к\-іг йи
и может быть записана в виде
D (k, (Or) = Dt (к, (Or) + iDt (к, юг), (8.6.10)
где
_ (()2 о п
Di=-Л у.(8.6.11)
ZJ к2 ди U=Oi ../Ikl v 7
а
U=G) /|к|
*-1-2SiSSt**- <8'6',2>
а -оо
Подставляя (8.6.10) в (8.6.9) и приравнивая получившееся выражение нулю, имеем
(Of= ~fj(k’.7.r) , (8.6.13)
1 dDr (к, сог)/дсог * v 7
где (ог с точностью до членов порядка (сог/(Or)2 удовлетворяет уравнению
Dr (k, (ог) = 0. (8.6.14)
Задача 8.6.9. Покажите, что (8.6.13) дает для о* такое же выражение,
что и в (8.6.4).
6.3. Ионно-звуковые волны
Учет вклада ионов в диэлектрическую проницаемость D (к, (о) приводит лишь к небольшому сдвигу частоты ленгмюровских колебаний. Иначе говоря, не существует никаких отдельных ионных ленгмюровских колебаний с частотой (о = (Ор$ . Однако если электроны значительно горячей ионов (Te Ti), то низкочастотные электростатические волны, в которых движе-
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛН
311
ние ионов играет главную роль, становятся слабозатухающими. Фазовые скорости таких волн лежат в интервале
Для исследования свойств рассматриваемых волн нужно, так же как и раньше, отыскивать нули диэлектрической проницаемости D (к, со), вычисленной для заданного равновесного состояния плазмы с учетом движения ионов. При этом снова нужно вычислять в подходящих приближениях интегралы по скоростям, предполагая, что (O1- (ог. Чтобы вычислить интегралы по скоростям для электронов и ионов, в интервале скоростей (8.6.15) необходимо использовать в каждом случае отдельные приближения:
Используя эти выражения при вычислении Dr (k, (Or) и (8.6.11) для Di (к, (ог), можно непосредственно найти ог, (о* для любого частного распределения Fa0 (и). Например, если равновесные распределения максвелловские, явное решение уравнений (8.6.16) и (8.6.17) в интервале скоростей, где мнимые члены малы, таково:
называется ионно-звуковой скоростью.
Эти волны были также получены из гидродинамической теории в гл. 3 и 4; их называют ионно-звуковыми волнами или ионным звуком. «Звуковыми» их называют потому, что при JcXve 1 они распространяются с одной и той же скоростью Cs. Этим они отличаются от ленгмюровских колебаний, у которых частота не зависит от длины волны (при Kkjye 1). Приведенное здесь кинетическое рассмотрение уточняет гидродинамическую теорию в двух отношениях:
1. He требуется никакого предположения об уравнении состояния. Из сравнения с результатами § 4 гл. 4 видно, что предположение об изотер-
(8.6.15)
OO
— OO
ИОНОВ,
(8.6.16)
оо
OO
для электронов.
(8.6.17)
г) _ _ Vi ыр« / та \ 1/2 та ау
nZJ к* ^ 2яхТа ) XTa I k I
ехр
(
WxTa
)¦
а
(8.0.18)
Dj (к, (Or) _
2(1 + кЧЪ)
TeITi
(8.6.19)
Здесь
312
ГЛАВА 8
Фиг. 141. Соотношение между фазовой скоростью ионно-звуковых волн и тепловой скоростью электронов и ионов.
Производная функции Fa при и — со/ | k 1 определяет аатухапие этих волн благодаря частицам сорта ос-Затухание (как электронное, так и ионное) мало лишь в случае Tg 2>
мичности электронов, используемое в гидродинамическом подходе, при кинетическом рассмотрении оправдалось.
2. Ионно-звуковые волны затухают, т. е.
0).f
Фі ~ Є * ,
и, если неравенство | (о*/(ог|<^ 1 не выполняется, они не должны рассматриваться в качестве собственных мод плазмы.
Исследование неравенства (8.6.19) показывает, что условие о* <С сог эквивалентно требованию, чтобы температура электронов была значительно выше температуры ионов. Таким образом, для распространения ионно-звуковых волн в плазме необходимо иметь Te Ti.
