Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
здесь X = х' — х, т = ?' — ?. Для изотропных функций Zo = Zo (и2) член [v X B1I-VvZo исчезает. Ho, как отмечалось выше, этот случай не является достаточно общим при рассмотрении замагниченной плазмы, поскольку характер движения частиц в ней вдоль и поперек магнитного поля существенно разный. Рассмотрим функцию распределения вида Zo = Zo Vz) и выразим B1 через E1 с помощью уравнения Максвелла
Множители Of0Idv21 и dfjdvz можно вынести из-под знака интеграла, поскольку U1 и Vz представляют собой интегралы движения. После этого остаются интегралы вида
где X (= х' — х), v'K и Vy определяются из (8.10.4). Интегралы такого типа можно вычислить с помощью тождества
в котором Jn — функция Бесселя первого рода. Выбирая без потери общности ось х вдоль вектора
/сек=—j (Еі + ^Цр^-Уу'/аоЮехр [{(к.Х — (0т)]йт, Im (to) > 0,
0
— OO
(8.10.5)
IkxE1 = I-B1.
x C
Градиент VvZо запишем следующим образом:
Vv/o = 2 (v — vzz) -Щ- + 2v
0
— OO
+ OO
и записывая
k = fcj_x-f-fc||Zv
(8.10.7)
можно получить для Zak следующее выражение:
2Zu^Jі (к^/(dccc) -f- Xv^ (Jі+1Ji-i) iYv^ (Ji+1 J 1-і)
]*
І I)
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛН
323
Здесь
X = Ex^ + ^-(k„Ex-k±Ez) (.
dfa.o dfaO
Y = E1
d/ctO
dvfi
dfa0 \
9v\ ) ’
Z = E2
v dv]_ dfao
d/gQ ^/ao
dvf\
dv^
).
dvf.
Зная /ак, можно вычислить возмущение тока Jt и подставить его в уравнения Максвелла. В результате имеем уравнение
-kxkxEt = -^-% + ^-in^naqa j v/akdv, (8.10.9)
a L
где L — контур Ландау (фиг. 137 и 138). Дисперсионное уравнение записывается в виде
Dxx Dxy Dxz
Dyx Dyi, Dyz = O (8.10.10)
Dzx Dzy Dzz
со следующими элементами детерминанта:
Dx
Dxy =
Щс
2л
0)2 2 пі
а
СОД
Dxz =
Cl)
a п
feIIfcXg2 2л
О)2 О)
a п
Dyx = Dxyi
(Pl + fcf|) с2 2я
2 2(4ЦМт<*^)>а]'
an XJ.,
(8.10.11)
2лі
z^2-j^r 2 S (-^r)a[t0c^-L-d ikj(оса) Aa] •
Dr
Dzy —
Dzz = I-
a n к и к. с2 2я
2 Я!
(1)
к2±с2
со
2 2(?Ц-^««]
S S (if )a [17II yJ-c0Ca^n'd (fc t %ca) Х“] ,
/V M J-J-
"йГ S 2 ( IaMtoCa^nAa].
В этих равенствах квадратные скобки представляют собой интегральные операторы, определяемые следующим образом:
OU OO
[/»] = j dvt j
2V1F (i>±, у ц)
fcIyH +re“ca —со
dv±.
324
ГЛАВА 8
Кроме того, использованы следующие обозначения:
у — 5ZceO (л ftIIvII \ , fcIIpII dfa0
а~~ dv*± I со /"I" со dv\ ’
д __ ^faO__n^ca ( д________д \ ,
а dvсо \ dv2^ Ov21 ) 'ао*
Все функции Бесселя, входящие в записанные выше выражения, имеют
OO
аргументом k±v±/(dca, а интегралы j dv берутся по контурам Ландау
— OO
(фиг. 137). По сравнению с относительно простыми уравнениями (8.9.6) и (8.9.7), описывающими волны в плазме в отсутствие внешних полей, вид уравнений (8.10.10) и (8.10.11) для волн в замагниченной плазме производит гнетущее впечатление. Замагниченная плазма характеризуется следующими новыми свойствами:
1. Моды уже не распадаются на не связанные между собой продольные и поперечные: постоянное магнитное поле В связывает движения частиц плазмы в различных направлениях. Иными словами, плазма становится анизотропной.
2. Отсутствует разделение мод на электростатические и электромагнитные.
3. Возникают особенности вблизи кратных частот со ^ тгсос. Циклотронная частота о)с (= еВ/тс), с которой частицы вращаются в магнитном поле, представляет собой наряду с плазменной частотой сор характерную частоту системы.
4. Резонанс, который в незамагниченной плазме существует при со = = к*у и приводит к затуханию волны, возникает теперь при о — п(нса = = ЛцУц, и вклад в затухание вносят только частицы, движущиеся вдоль поля, причем затухают лишь волны с отличной от нуля проекцией волнового вектора на направление магнитного поля. Это обусловлено тем, что в однородном магнитном поле B0 отсутствует усредненное движение частиц поперек поля.
5. Если в незамагниченной плазме колебательные свойства определяются единственным параметром, а именно отношением скорости волны к тепловой скорости, т. е.
— л/' ГПа k V х.Та ’
то в замагниченной плазме важную роль играют несколько параметров:
(о к -| Г KTa coP со тпа кс
Wca ’ шса V тпа 9 сос » к її V кТа ’ COp
Чтобы осмыслить общие результаты, следующие из дисперсионного уравнения (8.10.10) вместе с (8.10.11), полезно выделить несколько частных случаев, стараясь проследить аналогии с результатами, основанными на гидродинамической модели, и в то же время выявить новые, отличительные черты.
§11. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЛН В ХОЛОДНОЙ ЗАМАГНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЕ
Дисперсионное уравнение для волн в холодной замагниченной плазме можно получить из дисперсионного уравнения, выведенного на основе линеаризованного уравнения Власова, если в (8.10.10) перейти к пределу Ta —0. В этом пределе (8.10.10) совпадает с дисперсионным уравнением (4.9.6),
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛН
325
полученным для холодной замагниченнои плазмы с помощью гидродинамических уравнений. Отсюда следует, что гидродинамическая теория правильно описывает волны в достаточно холодной плазме, когда разброс частиц по скоростям мал, так что все частицы движутся со скоростями, слабо отличающимися от гидродинамической скорости. В предельном случае холодной плазмы нет нужды в уравнении состояния: давлением попросту пренебрегают.