Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Яа/а (X, V, t) dxd\.
Использованная здесь нормировка записывается в виде
па ^ /а d\ = Na = Полное число частиц сорта а в системе.
Следует заметить, что Tiatt представляет собой усредненную по объему плотность частиц, а не локальную плотность в конфигурационном пространстве.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛН
295
§ 2. ЛИНЕАРИЗОВАННОЕ УРАВНЕНИЕ ВЛАСОВА
Уравнение Власова (8.1.1) является нелинейным уравнением относительно /а, поскольку поля E и В сами определяются функцией распределения. Поэтому решить это уравнение нелегко. Вместо вычисления точной функции распределения /а, используя систему линеаризованных уравнений
Власова — Максвелла, можно найти малое возмущение /а1 некоторого
равновесного состояния /а0. Значительная часть современной теории плазмы основана на рассмотрении этих линеаризованных уравнений. Решения, полученные с помощью линеаризованных уравнений, следует всякий раз проверять, чтобы убедиться в том, что они удовлетворяют тем ограничениям, которые были необходимы для получения этих приближенных уравнений.
При выводе дияеаризованных уравнений Власова — Максвелла предполагают сначала, что функция распределения /а и поля E и В выражаются в виде суммы равновесных значений этих величин и возмущений:
/а(х, V, ?) = /ао(х, У, *) + є/аі(х, У, t),
E (х, г) = Е0(х, ^ + єЕ* (х, t), (8.2.1)
В (х, t) = B0 (х, O + sB^x, t).
Затем эти величины подставляют в уравнение Власова, причем нелинейные члены порядка е2 отбрасывают. Невозмущенное состояние плазмы /а0 предполагается известным и удовлетворяющим уравнениям Власова и Максвелла:
^ + v.V/ao+ -?- (Ео + ^120.) -VvZao = O, (8.2.2)
V'E0 = 4n 2 j /aodv + 4np0, ВНЄШ )
a
V X Bc = і. + 2 naqa j v/a0 dv + ijL J0. „неш , (8.2.3)
a
л у г __ I
VXE0------------------------------------- - -
Вычитание этих равновесных уравнений из возмущенных линеаризованных уравнений дает линеаризованные уравнения Власова — Максвелла для возмущения функции распределения /а1 и возмущенных полей E1 и B1:
d/ai , --7 с , /ю і VXBoXr7T ?а /п і V X Bj
dt
'v • + ^- ( Е» + j2T2l) • Vv/.. - - ( E1 + -Ц*- ) ¦ V,/„,
(8.2.4)
V • E1 = 4л 2 naqa j /о1 dx, (8.2.5)
а
V X B1 = ~ + ~ 2 naqa j v/aldv, (8.2.6)
а
Задача 8.2Л. Какие члены опущены при выводе (8.2.4)?
Полученная система линеаризованных уравнений для возмущений зачастую может быть решена стандартными методами и позволяет изучать поведение плазмы в течение интервалов времени, меньших времени между парными столкновениями. В частности, эти линеаризованные уравнения можно применять для изучения плазменных волн малой амплитуды, период
296
ГЛАВА 8
колебаний которых значительно меньше времени между парными столкновениями. В этом случае функция распределения /а0 и самосогласованные поля E0 и B0 описывают некоторое стационарное состояние плазмы (такие состояния нетрудно сконструировать с помощью интегралов движения методом, описанным в гл. 7); функция распределения /а1 (х, у, ?) описывает развитие начального возмущения.
Согласно гидродинамической теории, малые возмущения стационарных состояний плазмы распространяются в виде волн (гл. 4). Поскольку все результаты гидродинамической теории можно получить и из уравнения Власова, очевидно, что во многих случаях возмущения /а1 (х, v, t) также должны распространяться в виде волн. (Кроме того, уравнение Власова выявляет и другие характеристики плазмы, которые не описываются гидродинамикой.) Как и в гидродинамике, свойства плазменных волн зависят от равновесного состояния (/а0, E0, B0), вблизи которого рассматриваются волновые возмущения. В данной главе с помощью уравнений (8.2.4) —
(8.2.6) мы будем изучать волновые возмущения малой амплитуды для различных равновесных состояний плазмы и покажем, каким богатством разнообразных явлений обладает возбужденная плазма.
§ 3. РЕШЕНИЕ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ
ВЛАСОВА — МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ В ОТСУТСТВИЕ ВНЕШНИХ ПОЛЕЙ
Уравнение Власова впервые было использовано для решения задачи об электромеханических колебаниях в плазме. Эта задача знакомит с математическими методами, используемыми для решения линеаризованного уравнения Власова, и выявляет те дополнительные свойства плазмы, которые не охватываются гидродинамикой.
Рассмотрим пространственно однородную плазму в отсутствие полей, которая описывается следующим равновесным решением уравнения Власова:
E0 = B0 = 0, /а0 = /а0 (уа, Vy9 V7), (8.3.1)
Условие E0 = B0 = 0 требует, конечно, чтобы
Р<?=2 j Zao^V = O
а
J= 2 j vZa0^V = O
а
Пусть в момент t = 0 за счет смещения небольшой части заряда распределение зарядов в плазме слегка отличается от равновесного:
f (t ьг= 0) = Za0 (Vx-, Vy, Vz) ~Ь eZai (х, V, t = 0).
Предположим, что это возмущение электростатическое, т. е. что в результате смещения зарядов возникает лишь возмущенное электрическое, а не магнитное поле. Такое условие выполняется, если, например, возмущения плотности заряда меняются только в одном направлении и поэтому порождают только электростатическое поле. В этом случае
