Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
— OO
(8.8.6)
Здесь т = t' — t, X = х' — х, а Ek, Bk — не зависящие от координат и времени амплитуды. При Imcok < О решение для /ак получаем аналитическим продолжением функции (8.8.6).
Задача 8.8.3. Покажите связь между допущением о том, что Z1 (х, у, ?) —>- 0, и правилом обхода Ландау при вычислении резонанс-
?—у—оо
ных интегралов по и.
Подстановка выражения (8.8.6) в преобразованные уравнения Максвел ла дает в результате шесть линейных однородных уравнений для амплитуд Ek и Bke _
Если исключить из них Bk, то оставшиеся линейные однородные уравнения для Ek будут иметь (ненулевые) решения при условии, что детерминант из коэффициентов при составляющих поля E обращается в нуль и соответствующие уравнения записываются следующим образом:
DxxEx“Ь DXyEy -J- DxzEz = О,
DyxEx “Ь DyyEy -f- Dy7Ez = О,
DzxEx -J- DzyEy -J- DzzEz = 0.
Эти уравнения можно записать в матричной формено eE = 0, где
Dxx Dxy Dxz
D = Dyx Dyy Dyz (8.8.7)
-Dzx Dzy Dzz-
Тензор D определяет дисперсию волн; его компоненты Dij (к, со) зависят от /0, E0 и B0 — величин, характеризующих равновесное состояние плазмы.
§ 9. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЛН МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ В ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ [E0 -B0-O, /0 /0 (и2)]
Свойства волн в плазме для целого ряда ее равновесных состояний можно 'систематически изучить с помощью линеаризованного уравнения Власова и методов, подробно излагаемых в данной главе. Отсутствие внешних полей существенно облегчает задачу, уже рассматривавшуюся в § 6. Однако описанные там электростатические, или ленгмюровские, волны не исчерпывают всех имеющихся типов волн. Здесь, используя более общие методы интегрирования по невозмущенным траекториям, мы рассмотрим и другие типы волн в изотропной плазме. В отсутствие внешних полей частицы плазмы совер-
х) Решения такого вида могут существовать лишь к случае, когда в состоянии равновесия плазма однородна, что при наличии внешних полей, вообще говоря, пе так.— Прим. ред.
318
ГЛАВА 8
шают равномерное прямолинейное движение по траекториям
y' = const = V,
(8.9.1)
х = х + у (t — ?).
Возмущенную часть функции распределения при t — t' = т можно вычислить по формуле (8.8.6), полагая /а1 (х, у, і) = /ак exp [i (k-x — сот)]* E1 (х, t) = Et exp U (к*х — (ит)1 и т. д.:
у В °
/а к= -^-(Efc+ V><-k)-VvZao(V) j ЄХР [І (к.VT-(OT)] dx, Іш(О))>0.
— OO
Амплитуды Ek и Bk и все функции, зависящие от у, вынесены из-под знака интеграла, поскольку v не зависит от t' для траекторий (8.9.1) частиц в отсутствие внешних полей. [Для более сложных равновесных состояний такое* утверждение Iie справедливо и Vv' /а О (у/) будет зависеть от Ґ.] Интегрирование в выражении для Jaк по т дает
- -НЁк+^-Hzae
**= чсо-bv) ----* (8-9-2>
В случае изотропного распределения /а0 [ = /а0 (v2)] имеем следующее равенство: V х Bk -Vv/ао (у2) = 0. С помощью (8.9.2) можно вычислить плотность заряда и плотность тока по следующим формулам:
SH Jwl Г №-Ek) Ik-VvZao И) , /QOQV
Р? = S - S 1^" J t (<о—k-v) dy (8.9.3)-
a
T / лт \ ^ rlaqiO- Г vEfdZa0 И/dv
J-2 ?.№), = 2 — j------------------|(t>_ft) dv. (8.9.4)
a a
Как было показано выше, эти выражения упрощаются, если распределение по скоростям проинтегрировать по компонентам скорости, перпендикулярным к. Выражения (8.9.3) и (8.9.4) можно записать через одномерную функцию распределения
^CfO (И)e j /особ («----^J-) dy.
Для решений вида
E1 (х, t) = Ekexp [?(к-х — сот)],
B1 (х, t) = Bkexp [і (к*х — сот)]
уравнения Максвелла распадаются на уравнения для продольных и поперечных волн. Если определить амплитуды соответствующих волн 2?к = (к-Ek)/ I к I и E1 = [к х Ekl/1 к I, то для них можно получить три однородных алгебраических уравнения, которые в компактной форме
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛН
31»
записываются следующим образом:
i + S
рос
X
Ar2C2
рос
CO
X
X
аО
du
к2с2
О
о
X
О
S-
ос
^aO
ра
X
¦du
E
±1
E
±2
= 0. (8.9.5)
со — I к I гг
Эти уравнения имеют три (нетривиальных) решения. Одно из них соответствует электростатическим волнам, а два других — электромагнитным волнам, которые могут распространяться в изотропной плазме. Дисперсионные уравнения для этих типов волн записываются следующим образом:
1. Электростатические волны (E1 = 0)
‘+З^Ч^рг4*=0- <8'9'6)
2. Электромагнитные волны (Z^ = 0)
I k I и
du.
(8.9.7)
9.1. Электростатические волны
Уравнение (8.9.6) имеет следующие решения, полученные в § 6 и 7 настоящей главы:
а. Высокочастотные ленгмюровские колебания. При выполнении неравенства соIk (кТе1те)1/2 вещественная (ог) и мнимая ((Oi) части собственной
частоты даются выражениями
(о? = <(1 + 3 №), (8.9.8)
(О
De I
ехр I
2кЧ*Ве
(8.9.9)
б. Ионно-звуковые волны. При Te TiiSL (хТУиг*)1/2 < (о/& < (кТе/те)1/2 вещественная и мнимая части собственной частоты записываются в виде
Ar2C2
CO* = (8.9.10)