Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку в рассматриваемом случае линеаризованное уравнение Власова приводит к тем же результатам, что и гидродинамическая теория, сравнение выводов кинетической теории для Ta-^Oc результатами для Ta= 0 выявляет те эффекты, которые при макроскопическом гидродинамическом подходе выпадают из поля зрения. Например, показано, что затухание Ландау, ионные волны и волны на кратных циклотронных частотах зависят от температуры плазмы.
Задача 8.11.1. Покажите, что при Ta —>¦ 0 тензор диэлектрической проницаемости в (8.10.10) совпадает с (4.9.6), причем выражения (8.10.11) сводятся к (4.9.9).
Указание. Воспользуйтесь следующим приближением:
т ________ I / UlVl ЧП
n T- о ПІ V 2шса )
§ 12. ВОЛНЫ, РАСПРОСТРАНЯЮЩИЕСЯ ПОПЕРЕК МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ГОРЯЧЕЙ ЗАМАГНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЕ (E0 = 0,
B0 = В&). ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ И БЕРНСТЕЙНОВСКИЕ МОДЫ
С целью рассмотрения волн, распространяющихся точно поперек магнитного поля в горячей плазме, положим в (8.10.10) kz = 0. Эти волны не затухают, поскольку не находятся в резонансе с частицами, движущимися вдоль магнитного поля B0. Следует заметить, что при kz = 0
(------------— (
J (1) — WCOc — KzVz * (1)—TlCDc J
Fdv1
В случае Zrz = 0 дисперсионное уравнение (8.10.10) сильно упрощается, и его можно записать в виде
DxX
DyX
о
D
D1
0
ху
VV
0
0
Dt
_Ег_
= 0.
(8.12.1)
Для плазмы с изотропным распределением (dfjdv^ = df Jdvi1) одно из решений уравнения (8.12.1) приводит к следующему дисперсионному уравнению:
Ozz=I-
/с2с2
2 п
<8-,2-2>
В дальнейшем рассмотрении для простоты будем считать функцию распределения плазмы изотропной. Это ограничение не играет принципиальной роли и введено для упрощения получающихся выражений. Напомним также, что по аналогичной причине выбрано kA = кхх.
326
ГЛАВА 8
12.1. Обыкновенная волна
Из дисперсионного уравнения (8.12.1) ясно, что решение Dzz = 0 описывает электромагнитную волну, в которой вектор электрического ПОЛЯ E параллелен B0 и которая распространяется вдоль оси я, т. е. к = кх. Она называется обыкновенной волной, поскольку отклик электронов на Ez такой же, как и в отсутствие B0. Обыкновенная волна была получена также и из гидродинамического расчета [см. (4.11.1)1.
Решение уравнения Dzz = 0 затрудняется наличием бесконечной суммы 2- Однако во многих случаях существенный вклад в эту сумму вносит
п
лишь один член. Например, для длинноволновых мод (к2а2 1) все слагае-
мые в 2» кроме члена с п = 0, малы по параметру k2a\a. В этом случае каж-
п
дый член с п Ф 0 нужно учитывать лишь вблизи резонанса на циклотронных
гармониках (со ^ гссога). Аналогично можно пренебречь 2 и в случае висоті
ких частот (к2с2 сОрС), за исключением частот вблизи циклотронных гармоник со ^ п(оса. Ограничиваясь рассмотрением только волн, длина которых больше ларморовского радиуса и частота которых со не близка к кратной циклотронной частоте, можно оставить в сумме только слагаемые сп = 0.
Оставляя только слагаемое сп=Ои полагая J0 (каС(Х) = 1, мы получаем дисперсионное уравнение, которое совпадает с найденным в гидродинамической модели, т. е.
со*2с2 + Ц. (8.12.3)
Кроме того, существуют и другие решения уравнения Dzz = 0, соответствующие волнам, частоты которых лежат в узких интервалах вблизи циклотронных гармоник (п = 1, 2, 3, . . ., а каса <1)*
О) = жосо 11 + О (Araca)2"] } •
Задача 8.12.1. Проверьте, что в тензоре (8.10.10) при kz = 0 Dxz = = Dyz =Dzx = Dzy = 0.
Два других решения уравнения (8.12.1) удовлетворяют следующему уравнению:
Dxx Dxy
— Dxy Dyy
= 0.
Вектор электрического поля E для этих волн перпендикулярен B0. Особенно просто выглядит решение в случае А:2с2 сор, поскольку при этом Dxy пренебрежимо мало по сравнению с членом к2с2/сор, входящим в Dyy. В таком предельном случае можно найти приближенные решения, полагая либо Dxx = 0, либо Dyy = 0. Для обоих этих решений вектор электрического поля волны E перпендикулярен B0. Ниже мы запишем дисперсионные уравнения для этих мод.
12.2. Необыкновенная волна
Поляризация необыкновенной волны определяется выражением
E.k « -^r E х к < E х к. Ґ8.12.4)
Дисперсионное уравнение в этом случае записывается в виде
**»-«>¦ + 2™ S j dv„ j (8.12.5)
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛН
327
12.3. Бернстейновская мода
Поляризация этой моды определяется выражением Е-к« -^-Ехк>Ехк.
Дисперсионное уравнение имеет вид
a)L4nn2(oL
у coPCt ra toCg f р dfgo j Q
А + 2j Zj 0)2-^0)^ J Jn dv\ av-u-
a n= I
(8.12.6)
Необыкновенная волна (8.12.5) поляризована так, что ее электрический вектор почти перпендикулярен к, и (в этом смысле) с хорошей точностью она представляет собой электромагнитную волну. Обыкновенная волна (8.12.2) имеет чисто электромагнитную природу. В обеих этих модах учитывается циклотронное вращение частиц. Когда B0 —0, обыкновенная (8.12.2) и необыкновенная (8.12.5) волны становятся обычными электромагнитными волнами (8.9.14).
В бернстейновских модах электрический вектор почти параллелен к и волна близка к продольной. Эти моды сродни волнам со= (Ope и с со = = kCs, существующим в плазме без магнитного поля. При B0 —0 они переходят в высокочастотные ленгмюровские и низкочастотные ионно-звуковые волны. Однако в отличие от колебаний в незамагниченной плазме бернстей-новские моды не затухают даже при B0 —0. Чтобы получить затухающие колебания плазмы, необходимо сначала рассмотреть случай kz Ф 0, затем перейти к пределу B0 —0 и после этого устремить кг к нулю. Моды с кг = О при B0О образуют множество колебаний нулевой меры [8].