Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
На фиг. 138, а показан возможный набор полюсов функции фк (р), соответствующих нулям D (к, ip), и контур интегрирования при обратном преобразовании Лапласа. На фиг. 138, б приведен эквивалентный контур, для которого мы можем записать функцию фк (t) следующим образом:
- гоо - cl — a+ioo
срг(г)=2^еРЛк)1+ J ?к(р) ept4k+ J Фк (P) ^ ^r+
j -ioo+ро -a-ioo
гоо+po
+ j <8'4-Є)
ioo—a
Здесь полюса Pj функции фк (р) определяются из условия D (к, ipj (к)) = О, а Rj есть вычет в этих полюсах, т. е.
Rj = Iim (р—pj)^t(p).
V-^Pj
Второе и четвертое слагаемые в (8.4.6) малы, если фк (р) быстро убывает при |р I оо, а третье слагаемое
гоо-а
j Фк (P) ept dp
-гоо-а
становится при t оо экспоненциально малым по сравнению с гкладом от полюсов. Если все полюса pj (к) лежат левее мнимой оси (т. е. если Re Pj <1 <0), то все слагаемые в фк {і) затухают при t —> оо. Если же некоторые полюса лежат правее (Re pj >0), то они приводят к нарастанию электрических полей (к неустойчивости). В обоих этих случаях асимптотическое решение линеаризованного уравнения Власова в электростатическом приближении имеет вид
Фк (t ->¦ оо) = 2 RjeVjWt. j
Обычно это выражение для асимптотики потенциала записывают через частоту со = ip в виде
Ф к(() = Е^г^‘. (8.4.7)
j
В этом выражении о)у, вообще говоря,— комплексная величина
Mj *= (Or -f- I CO ?,
удовлетворяющая уравнению
D (к, <») = l-2-%L j JZ^du = O, (8.4.8)
a L
304
ГЛАВА 8
в котором интеграл берется по контуру Ландау. Во многих случаях Re [со (k)] > Im [со (к)1 и отклик плазмы на возмущение после непродолжительных переходных процессов складывается из нескольких волновых колебаний с хорошо определенными частотами. Для этих колебаний, представляющих собой нормальные моды плазмы, диэлектрическая проницаемость обращается в нуль. В общем случае такие волновые моды обладают фазовой скоростью соIk и групповой скоростью доа/дк.
Из изложенного ясно, что задача об определении отклика плазмы на больших временах сводится к нахождению нулей диэлектрической проницаемости. Уравнение
D (к, со (к)) = 0
называется дисперсионным уравнением. Оно позволяет найти частоту плазменной волны со как функцию к или, наоборот, к как функцию о. Подчеркнем, что с помощью дисперсионного уравнения описывается только асимптотическое поведение на больших временах.
(8.5.3)
§ 5. УПРОЩЕННЫЙ ВЫВОД ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ВОЛН В ПЛАЗМЕ
Один из возможных методов решения системы уравнений Власова — Максвелла
-?5- +V-VZal= -^VqVVv/a<h (8.5.1)
V2<Pi = — 4я 2 naqa j /ai dv (8.5.2)
a
для электростатических возмущений (E1 = —Уфі) состоит в нахождении частных решений вида
Za1 (х, V, *) =Zak(V) ехр (/к-х)ехр( — г<0*),
Ф4 (х, t) — фк ехр (гк-х) exp (— tot).
Тогда из (8.5.1) имеем
(Яа/та) (k-Vv/a0)
/«* =------------------Фк (8.5.4)
и, подставляя это выражение в (8.5.2), получаем уравнение
+ 2тН Sr^)=0- <8-5-5*
a
Нетривиальное решение уравнения (8.5.5) существует, если
a
Это дисперсионное уравнение дает зависимость со (к) или к (о). С учетом этой связи возмущение потенциала записывается в виде
Фі = Фк ехр (Ік-х — ІQbt).
Дисперсионное уравнение (8.5.6) нельзя использовать, не уточнив контура интегрирования по у, поскольку для действительных значений со (к) знаменатель обращается в нуль при интегрировании по действительной оси у. Приведенный упрощенный вывод дисперсионного уравнения не дает никаких указаний, как правильно выбрать контур. Однако если рассматривается поведение плазмы после начального возмущения, то решение (8.5.6) должно
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛН
305
совпадать с точным решением задачи с начальными условиями (8.4.8). Эти два решения совпадают, если справедливо следующее тождество для интеграла в (8.5.6):
г
J со—k*v J со—kv * v '
L
где L — контур Ландау, показанный (с заменой ip на о) на фиг. 137*
Задача 8.5.1. Покажите, что правило обхода Ландау (8.5.7) эквивалентно учету слабых столкновений. Воспользуйтесь модельным уравнением
f. + V. V/ - s. ур. V»/--§- Lojib- V (/ - /„),
учитывающим столкновения, и перейдите к пределу V —+0.
Задача 8.5.2. Правило обхода Ландау возникает при решении задачи с начальными условиями. В какой задаче правильные результаты будет давать контур, который проходит над полюсом, в отличие от контура Ландау?
К собственным модам плазмы относятся те волновые возмущения, которые продолжают существовать долгое время после того, как затухли переходные процессы, связанные с начальным возмущением. Эти собственные моды характеризуются теми нулями функции D (к, со), для которых мнимая часть собственной частоты со мала и отрицательна, так что о почти действительная величина. Если же для некоторого корня мнимая часть частоты велика (и отрицательна в устойчивой плазме), то соответствующая этому корню волна затухнет за несколько периодов колебаний и не может рассматриваться как собственная мода. Для почти действительных собственных частот можно упростить вычисление интеграла по скоростям в (8.5.6), разложив его в ряд Тейлора вблизи со* = 0 (считая о = ог + ш*):
