Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
/ (V) dy
Iim ? /(*)rfv +to а гИш ? /(v)rfv . -I
e_* + 0 J k-v —(0r —18 1 да)r Le_* , о J k-v — cor — is J 1
J k*v — (I) ?_*_!_()•* K'v—wr — ^wr
— oo —oo —oo
(8.5.8)
Следует заметить, что для выполнения правила обхода Ландау при действительном со = сог полюс нужно сдвинуть вверх от оси и, записав о = ог + і&л и затем перейти к пределу є —+ 0.
Интегралы в (8.5.8) удобно свести к одномерным, вводя функцию
Fao (U) = j /ао (V) б ( U —щ-) dy.
Используя тождество [3]
Hni ? -----С(,УГ • =4 G(tt)/fbi +яіС(и=-П7т) .
8^+0 J u —(0r/|k| —18 J и — шг/|к| V I к I / ’
— OO
можно получить дисперсионное уравнение для слабозатухающих электростатических волн в плазме в отсутствие внешних полей:
Ф- (‘+«--ті-) -і-
ос
+ ЯІ Г dF*o(*) 'I I0 (8.5.9)
L ди Ju=G)r/|k|J v 7
306
ГЛАВА 8
Выражение для диэлектрической проницаемости, стоящее в (8.5.5) и (8.5.9), справедливо только для плазмы, в которой в равновесном состоянии /а0 нет электрического и магнитного полей. При рассмотрении более сложных равновесных состояний диэлектрические свойства плазмы меняются. Описанный здесь метод позволяет после необходимого обобщения решать в линейном приближении большинство задач о колебаниях плазмы. Следуя этому методу, нужно сначала получить диэлектрическую проницаемость плазмы, найти ее нули и затем сопоставить этим нулям плазменные волны. В последующих параграфах получена диэлектрическая проницаемость плазмы для различных равновесных состояний и исследованы характерные для этих состояний колебания плазмы.
§ 6. ТЕОРИЯ ЛЕНГМЮРОВСКИХ И ИОННО-ЗВУКОВЫХ волн, ОСНОВАННАЯ НА УРАВНЕНИИ ВЛАСОВА.
ЗАТУХАНИЕ ЛАНДАУ (E0 = B0=O)
Применение уравнения Власова к теории волн малой амплитуды в плазме можно проиллюстрировать на примере ленгмюровских и ионно-звуковых волн, для которых (в отсутствие полей) легко решить дисперсионное уравнение (8.5.9). Эти волны рассматривались в гл. 5 в рамках гидродинамической модели плазмы. Дополнительные свойства этих волн, обнаруживаемые при использовании уравнения Власова, показывают, как кинетическое рассмотрение позволяет глубже понять основные процессы в плазме.
6.1. Высокочастотные электростатические волны; ленгмюровские
колебания
В отсутствие внешних полей волны в плазме характеризуются волновым вектором к и частотой о, которые связаны дисперсионным уравнением D (к, о) = 0 [уравнения (8.5.6) и (8.5.9)]. Приближенные решения дисперсионного уравнения могут быть найдены для тех волн, фазовые скорости которых лежат в определенных интервалах. Например, можно решить (8.5.6) для волн, фазовая скорость которых намного больше тепловой скорости частиц плазмы, как показано на фиг. 139. При условии со/к Vr интеграл в смысле главного значения в (8.5.9) может быть вычислен разложением по и\
и
Фиг. 139. Соотношение между фазовой скоростью ленгмюровских волн со/| k I и тепловой скоростью электронов при co/А: VT.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛН
307
Для максвелловской функции распределения
J7 / т \ 1/2 / TUeU2 \
в0~ ( 2пхТ )е expI Ш7)
этот интеграл может быть вычислен в явном виде (ионным вкладом можно пренебречь благодаря малости TneImi):
IimJt Г . du-
Є-. + 0 к J «—®г/|к|--18
; (8.6.2) u=ar/lk| v 7
здесь (Ope — плазменная частота и
Xbe = -^Чг • (8-6.3)
4ллгее-
Формулы (8.6.2) и (8.6.3) можно применять и для немаксвелловского распределения /а0, если определить его «температуру» как
Дисперсионное уравнение для волн с (о/к^>ит получаем, если подставить (8.6.2) в (8.6.1) и воспользоваться малостью величин Kkve и сог*/сог:
0)2 = CDjU (1 + 3к2%Ье),
сог « copf? (l -f-|- Tc2^be) , (8.6.4>
Wi== T I I exP [ — ( 2")]*
Действительная часть to равна частоте плазменных колебаний, рассмотренных в гл. 4, где было показано, что после начального смещения электронов в некоторой области от положений равновесия они колеблются с частотой CDp*. Выражения (8.6.4) получены при рассмотрении тех же колебаний с помощью линеаризованного уравнения Власова и описывают поправки к частотег основанные на строгом учете теплового движения; они показывают такжег что колебания слабозатухающие.
Для применимости выражений (8.6.4) необходимо выполнение условиях) со//с > (кТе1те)1/2, и это условие слабого затухания удовлетворяется при
<С 1* Последнее неравенство оправдывает приближения, сделанные при выводе (8.6.4), и если оно выполнено, то электростатические колебания с частотой CO « соре являются собственной модой однородной плазмы (в отсутствие внешних полей). Электрический потенциал колебаний с определенным к равен
Cp1 (х, t) = Фі exp [і (к-X — (drt)] ехр(сл)it)
с сог и со і из (8.6.4). Эти слабозатухающие собственные моды плазмы обычно называют ленгмюровскими колебаниями; иногда их называют также плазменными волнами, плазменными колебаниями и электростатическими волнами. Поскольку это те же волны, которые анализировались в гл. 4 на основе гидродинамического описания, поучительно сравнить прежние результаты с результатами, полученными в этой главе с помощью уравнения Власова.
