Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
потенциала в устойчивой плазме.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛН
315
мешиванием (или хаотизацией) фаз. Баллистический отклик (8.7.6) не содержится в асимптотическом решении [см. (8.4.7) и (8.5.3)] опять-таки из-за наличия двух масштабов времени, которые возникают при описании плазмы как системы осцилляторов с характерными частотами (ок.
Двойственный характер затухания поля E был исследован в экспериментах Малмберга и Уортона [4], Гоулда, О’Нейла и Малмберга [5], Рипина и Пекачека [6]. Cy и Оберман [7] подробно изучили уничтожение fB благодаря столкновениям.
Теория затухания Ландау и плазменных волн представляет собой центральный результат кинетического приближения, и важным моментом является понимание того, чем отличается переходный процесс от асимптотического режима. Детальное обсуждение баланса энергии в процессе затухания Ландау требует нелинейного обобщения теории. Эту проблему мы рассмотрим в гл. 10.
Задача 8.7.2. Найдите функцию / (х, t) с учетом баллистического слагаемого при t —>¦ оо.
Задача 8.7.3. Вычислите /х (х, у, t) для пространственной задачи с заданными граничными условиями, приведенными в задаче 8.6.7.
§ 8. ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ВОЛН В ПЛАЗМЕ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ РАВНОВЕСНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ
Основной результат предыдущего параграфа состоит в том, что поле электростатической волны в изотропной плазме в отсутствие внешних полей •асимптотически зависит от времени следующим образом:
гк • Ek (t) = 2 At ехр (— m^t),
COk
где о)к — нули диэлектрической проницаемости D (к, (о). Поскольку D (к, (о) полностью определяется равновесным распределением, эти нули не зависят от начального возмущения. Для получения диэлектрической проницаемости не обязательно было прибегать к преобразованию Лапласа; достаточно было искать решение уравнения (8.5.1) в виде /х (х, v, t) = /к (v) ехр (?к*х — ш?) (записав в аналогичном виде и потенциал) и использовать правило обхода Ландау в сингулярных интегралах по скоростям.
До сих пор рассматривалась плазма в отсутствие внешних полей; в этом простейшем случае преобразованные уравнения (8.3.9) для Z1 (у) не были дифференциальными — в них отсутствовал член вида
(е0 + J2i®^).Vv7k(v).
Если же в равновесном состоянии в плазме имеется электрическое поле (есть объемные или поверхностные заряды) или магнитное поле (например, в плазме, которая удерживается полем B0, создаваемым внешними проводниками), то линеаризованное уравнение Власова является дифференциальным по у:
B-+-v+^+^K]/.,=
Дифференциальные уравнения такого типа можно решать, используя метод характеристик, называемый также «интегрированием по невозмущенным
316
ГЛАВА 8
траекториям». Прежде всего с помощью уравнений
TT=''- TF-isrfefr'- «') + —ХВ*.(— <8А2>
с граничными условиями
Xr (t' = O=X,
V (,' _ „ _ V <8-8-3>
определим траектории, проходящие через точки х, у фазового пространства.
Искомую функцию возмущенного распределения /а1 (х, у, t) находят путем рассмотрения функции/а1 [х' (J'), у' (Ґ), ?'], зависящей от времени которая удовлетворяет уравнению
°+-g-V,¦/..(*¦. V, + V, <) =
4a Iv , V' X B1 (x\ t'
~------(в* (x^ O+ V x \(x' t] )'Vv-/«o(x', V')- (8.8Л)
Заметим, что поля E0 и B0 являются постоянными полями, которые определяют равновесное распределение плазмы /а0. С учетом граничных условий (8.8.3)
/а1(х\ v', f') = /al(x, у, t) при tf = t.
Поэтому решение уравнения (8.8.4) при Ґ = t совпадает с решением уравнения Власова. Ho (8.8.4) можно непосредственно проинтегрировать, поскольку в левой части стоит полная производная. Интегрирование уравнения (8.8.4) в пределах от t' = —оо до t' = t дает
t
/«1 (X, V,t)=—%*~ j dt' [E1 (X', 0+ V,XBlc(X>’ П ] VWttO (X', V') +
— OO
+ fai [х' ( — оо), v'( —оо), t' = — оо]. (8.8.5)
Задача 8.8.1. Непосредственной проверкой покажите, что выражение (8.8.5), в котором х' и v' определяются согласно (8.8.2) и (8.8.3), является решением уравнения Власова.
Задача 8.8.2. Найдите х' и v' в частном случае E0 = B0 = 0. Вычислите /«к (р) с помощью (8.8.5) и покажите, что результат совпадает с решением уравнения (8.3.9) для /ак.
Следует отметить, что х' и v' вследствие граничных условий зависят в общем случае не только от времени t — J', но и от х и V. По существу в описанном методе Z1 (х, у, t) находится интегрированием уравнения Власова от
— оо до J по кривой в фазовом пространстве (х, у), которая совпадает с траекторией заряженной частицы в равновесных полях E0 и B0. Зная /а1 (х, v, t)f можно определить nal (х, t) и Val (х, t) и подставить их в уравнения Максвелла:
„ ^ I OBi
VXE1=-T^f1
V • E1 = 4 л 2 QanOLh
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛН
317
Для этой системы уравнений можно так же, как и в § 4 гл. 8, решить задачу с начальными значениями. Однако подобно тому, как^это было сделано в § 5 гл. 8, проще искать решение в виде E1 (х, t) = Ek ехр (ik*x — ш?) при условии /а1 (х', у', ?-*¦ — оо) = 0 1). При этом
0 / —
/ак =----- ^ (Ek+-5^-^^L)*Vv'/ao(v')eXp[i(k-X— 0>Т)] dt, 1т(ю)>0.
