Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
VXE1 = O1 Ei = —Уфі-
Уравнения (8.3.2) строго справедливы для одномерных возмущений, а для общего случая являются лишь приближенными. В электростатическом
(8.3.2)
(пространственный заряд отсутствует), (полный ток равен нулю).
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛН
297
приближении /а1 (х, у, t) представляет собой решение следующих уравнений:
("lr+v,V)/al = _ft’V(Pl‘Vv/“0’ (8-3-3>
V2CPi = — 4Я 2 ПаЯа j /al d\. (8.3.4)
a
Задача 8.3.1. Напишите какие-либо явные выражения для малого (по сравнению с /а0) возмущения /а1 функции распределения, согласованные с условием B1 = 0.
Для решения системы уравнений (8.3.3), (8.3.4) удобно воспользоваться методом интегральных преобразований. Уравнения упрощаются, если использовать преобразование Фурье по координатам, а для задачи с начальными условиями — преобразование Лапласа по времени *). Эти преобразования превращают исходные дифференциальные уравнения в алгебраические, которые решаются отдельно для каждой компоненты (Фурье — Лапласа), После этого нужно провести обратное преобразование Фурье — Лапласа, чтобы получить решение в виде функций координат и времени.
Преобразование Фурье — Лапласа определяется следующими формулами:
/ak(v, *) =Zak = -^jT j /al (х, V, t) exp ( — ik*x) dx, (8.3.5) фіс(0 =-(2^)3" J Фі(х, *)exp(-ibx)dx, (8.3.6)
оо
/ak (v> P) = /ak = J /ak (v, t) exp ( —pt) dt, Re(p)>p0. (8.3.7)
O
Важно подчеркнуть, что лапласовский образ / (р) определен только при Re Р^>Ро, как отмечено в (8.3.7). Константа р0 выбирается достаточна
OO
большой, чтобы обеспечить сходимость интеграла j/al (х, v, t) exp (—pt) dt,
_ о
По найденной функции /at, проводя обратные преобразования, можно найти /al (х, V, t) и Cp1 (х, t):
Ро+гоо
/al(x, V, *) = j exp(ik-x)dk j ехр(р?) Так(\, р)
т)п — г оо
Po'co _ (8.3.8)
Фі(х,*)=| exp (ik• х) dk j exp (pt) Фк(р)-|^--
РО-Іоо
Применение преобразования Фурье — Лапласа к уравнениям (8.3.3) и (8.3.4) с учетом того, что /а0 не зависит от х и ?, дает
(р + ik • V) 7ak = /ak (k, V, t = 0) -f- (Ік • Vv/ao) фк,
mCt
к2<рк = 4я 2 ”<xQa j Ukdx. (8.3.9)
*) Исследование электростатических волн этим методом было впервые проведено Л. Д. Ландау [1].— Прим. ред. у
298
ГЛАВА 8
Исключая из этих уравнений /ак* получаем выражение для возмущенного потенциала qv.
а
Хотя для получения пространственной и временной зависимости возмущения потенциала необходимо еще произвести в (8.3.10) обратное преобразование Фурье — Лапласа, это выражение для фк (р) уже содержит полезную информацию. Знаменатель его дает диэлектрическую проницаемость плазмы (в отсутствие внешних полей) при распространении в ней электростатических волн с частотой о = ip и волновым вектором к:
Задача 8.3.2. Покажите, что D (k, ip) действительно имеет смысл диэлектрической проницаемости.
Интегралы по скоростям в (8.3.10) и (8.3.11) можно упростить, если воспользоваться системой координат в пространстве скоростей, в которой волновой вектор к направлен вдоль одной из координатных осей, и ввести интеграл F (и) от / (у) по двум другим координатам:
В этих обозначениях уравнения (8.3.9) — (8.3.11) принимают вид
для любой /а0 (v2) (где и2 = Vx + V2y + V2z). Из данного результата следует, что в изотропной плазме произвольное возмущение можно разложить на два независимых возмущения: возмущение электростатического типа с Ee9 = к-Е/| к |, точно описываемое с помощью диэлектрической проницаемости (8.3.11), и электромагнитное возмущение с Eem = = к х Е/| к |, которое мы опишем ниже в § 9.
(8.3.11)
а
(8.3.12)
/ ok (V, р)
p-j-ifc.V ?/ak(V, — 0) -f- (ik-Vv/ao) cPkJ t (8.3.13)
Фк (р) = J
a
a
Задача 8.3.3. Покажите, что
Чтобы найти зависимость фх и /а1 от времени, нужно обратить их лапла-совские образы. Временная зависимость фурье-образа потенциала полу-
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛН
299
Im р 1 Po р-плоскость Контур интегрирования по р
Re р
Фиг. 136. Контур интегрирования при обратном преобразовании Лапласа ф (р). Постоянная рй выбирается так. что полюса функции q> (р) лежат левее контура интегрирования.
чается с помощью применения обратного преобразования Лапласа к фк (8.3.14):
po+ioo 4л 2л naqa J p + i|k|u
J —-------------щьгщ----------------<8'316>
Ро-гоо
Путь интегрирования в выражении (8.3.16) показан на фиг. 136.
OO
Поскольку величина р0 была выбрана такой, чтобы j фк (t) e~pt dt схо-
O
дился при р > р0, контур интегрирования на фиг. 136 должен быть выбран лежащим правее всех полюсов функции фк (р)•
За исключением небольшого числа простых функций распределения ^aO (и), описывающих равновесие, и простых начальных возмущений Fак (и, ?0 = 0), интегрирование в формуле обращения (8.3.16) не может быть выполнено аналитически, поэтому аналитическое решение для фк (і) отсутствует. Однако для широкого класса равновесных распределений можно получить приближенное решение ДЛЯ фк (t) при t —>¦ со, которое описывает поведение системы спустя большое время после действия начального возмущения. Это асимптотическое (t —оо) поведение определяется собственными колебаниями (модами, нормальными типами колебаний) плазмы,, а не переходными процессами, чувствительными к деталям начального возмущения.