Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
естественно рассмотреть задачу о наличии дополнительного интеграла в виде
формального ряда по степеням ? с аналитическими в!3х 50(3)
коэффициентами, находящегося в инволюции с интегралом площадей.
Оказывается [149], при условиях (2.4) такого интеграла нет. Заметим, что
при 1\ =1з возмущенная задача вполне интегрируема (это снова задача
Лагранжа), а при г3 = 0 имеются интегрируемые задачи Ковалевской (Г =
2/3) и Горячева-Чаплыгина (1\ = 4/3, постоянная интеграла площадей равна
нулю). Задача о наличии дополнительного интеграла при г3 = 0 значительно
сложнее: здесь вековое множество В уже не обладает ключевым свойством.
§ 3. Группы симметрий
1. Следуя работе [101], применим метод Пуанкаре к задаче о наличии
групп симметрий у систем дифференциальных уравнений (1.1). Будем
рассматривать симметрии, порожденные системой уравнений
Уз = Y? + ^ + ¦¦ ¦, l^j^m, х'к = Х°к + гХ1к + ..., 1 ^ к <С п.
Коэффициенты YJ и (г, s ^ 0) считаются 27г-периодическими по координатам
х\,...,хп.
190
§ 3. Группы симметрий
Ограничимся рассмотрением "невырожденного" случая, когда выполнены
следующие условия:
1) п ^ гп и ранг матрицы \\dujk/dyj || почти всюду равен т;
2) если X) ид.(г/)а/, = 0 с некоторыми целыми ак, то все а*- нули.
Например, при т = 1 эти условия заведомо выполнены, когда кривая у -*
и)(у) регулярна и трансверсально пересекает резонансные поверхности ^к&к
- 0 (ак G Щ . При т = п ус-ювия невырожденности сводятся к единственному:
почти всюду det \\dcjk/dyj\\ 0. Заметим, что в § 1 в определении
невырожденной системы фигурировало только условие 2).
Все функции, встречающиеся ниже, считаем аналитическими.
Положим сначала е = 0и найдём все поля симметрий невозмущенной
интегрируемой системы. Нетрудно показать, что условие коммутирования
векторных полей (1.1) и (3.1) при г = 0 сводится к серии равенств
Лемма 1. Если невозмущенная система невырождена, то Y(r) = 0, а функции X(r)
не зависят от х.
Доказательство. Решим уравнения (3.2) методом Фурье. Положим YJ° =
^(а(у)ехр[г(а,ж)].
Из (3.2) найдем (a,u>(y))(a = 0. Невозмущенная система невырождена, и в
кольце аналитических функций нет делителей нуля, поэтому (а = 0 при всех
а^О. Следовательно, функции Y(r) зависят лишь от у. В частности, левые
части равенств (3.3) не содержат координат ад,... ,хп. Усредняя обе части
(3.3) по Tn = (х mod 27г}, приходим к соотношению
Согласно определению невырожденности, rank \\dwk/dyj || = m ^ ^ п.
Поэтому из (3.4) следуют равенства Y(r) = 0. Применяя к
Х% зависят лишь о г медленных переменных у. Лемма доказана.
(3.3)
(3.2)
(3.4)
191
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
Положим У)1 = 9h(y) ехр[?(а, ,т)]. Из условия коммутирования
(в первом приближении по s) векторных полей (1.1) и (3.1) можно вывести
равенства
Здесь Х°, Фа, уа - векторы с компонентами Хк, Ф-^, Ф-J, - коэффициенты
Фурье функции Ф; (см. § 1). При выводе (3.5) была использована лемма 1.
Лемма 2. Предположим, что в некоторой открытой области D С R"1 = {у}
вектор частот ш ненулевой, и множество Р, П D является ключевым. Тогда
найдется такая аналитическая в области D функция ?о, что Х° - ?осо.
Действительно, согласно (3.5), в точках множества Пуанкаре Pi векторы Х°
и to линейно зависимы. Так как Pi - ключевое множество, то Х° и to
зависимы во всех точках области D: рХо = А со, р2 + А2 ф 0. Поскольку ш ^
0, то р ф 0. Следовательно, Хо = ?о<^) и ?о-аналитическая функция, что и
требовалось доказать.
Подставим в (3.5) вместо Х0 векторное поле и воспользуемся соотношением
(а, оj(y)) ^ 0. Тогда ga = ?0Фа для всех ненулевых
а. Положим Ф*. = ?>?(у)ехр[г'(а,а:)], Xxk = ? rfa(y) ехр[г(а, ж)].
Из условия коммутирования систем (1.1) и (3.1) в первом приближении по ?
наряду с (3.5) выводится цепочка соотношений
Полагая в (3.6) у € Pi, = ?оu>k и используя неравенство ш ^ 0, приходим к
соотношению
Лемма 3. Пусть множество Пуанкаре Р0 является ключевым для CW(D). Тогда
(о - const.
Действительно, Ро С Pi, поэтому (3.7) справедливо во всех точках у € Ро-
При у G Р0 найдется m линейно независимых векторов Фа, Фд, Ф", ...,
ортогональных д?0/ду, поэтому dt;о = 0 на множестве Р0. В силу ключевого
свойства Ро получаем, что о = 0, и, следовательно, ?о = const.
Теорема 1. Предположим, что в области D С Rm = {у} невозмугценная система
невырождена, w ^ 0 и множество Ро - ключевое для С!~(1)). Тогда при (х.
у) ? Тп х D векторное поле
(a,to)ga = (а, Х°)Фа, а ? Zn.
(3.5)
г(а,со)^=:(а,Х0)^+^^а-^^Ф^ а ? Zn. (3.6)
(3.7)
192
§ 3. Группы симметрий
(3.1) отличается от поля (1.1) множителем = ?о + e?i + ...,&• = = const
(г ^ 0).
Доказательство. Пусть v? - векторное поле (1.1), а ие - векторное поле
(3.1). Согласно леммам 1-3, щ = ?ой>, где ?о = const. Следовательно,
векторное поле u>? = (us - ?оье)/г также будет аналитическим полем
симметрий. Из лемм 1-3 снова вытекает, что шо = 6г'о> 6 = const, и т. д.
В результате приходим к равенству us = ?ЕиЕ, где & = ?о + + • • •
2. Рассмотрим теперь случай, когда система (1.1) имеет интеграл Я =
