Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
квадратурах системы (9.1) при наличии двух коммутирующих полей симметрий.
Присутствие второго поля заменяется инвариантной формой объема.
2. Теорема 1 допускает уточнения для задачи о геодезических та замкнутой
поверхности М. Если ее род больше 1, то уравнения геодезических линий на
М вообще не допускают нетривиальных полей симметрий и интегралов.
Остается рассмотреть случаи М = S2 и М = Т2.
Теорема 2 [181а]. Если геодезический поток на S2 имеет нетривиальное поле
симметрий степени п, то найдется дополнительный полиномиальный интеграл
степени не выше п.
Теорема 2 непосредственно не вытекает из теоремы 1. Для ее доказательства
требуются дополнительные рассмотрения.
3. Обсудим оставшийся случай: М = Т2. Введем на Т2 глобальные угловые
конформные координаты <71,92 mod 2я\ В этих переменных гамильтониан
задачи о геодезических принимает вид Н = (р\ + pl)/(2Л), где Л -
положительная функция на Т2.
Теорема 3 [181а]. Если геодезический поток на Т2 имеет нетривиальное поле
симметрий степени п, то найдется многозначный полиномиальный по импульсам
интеграл степени не выше п. Кроме того, если п нечетно, то обязательно
существует однозначный полиномиальный интеграл. Если же п четно, то
однозначный интеграл существует всегда, кроме тех случаев, когда
конформный множитель Л удовлетворяет некоторому дифференциальному
уравнению в частных производных.
Например, при п = 4 это нелинейное уравнение имеет вид
Л-=сД In Л, (9.5)
oqidq2
где с-некоторая постоянная, ненулевая в случае многозначности
полиномиального интеграла. Можно показать, что уравнение (9.5) имеет лишь
постоянные решения, периодические по q\ и q2-
Следствие. Если геодезический поток на торе имеет нетривиальное поле
симметрий степени п ^ 5, то существует независимый от Н полиномиальный
интеграл степени не выше п.
175
Глава III. Препятствия к полной интегрируемости
Вопрос о справедливости этого утверждения для четных п ^ 6 остается пока
открытым. В [181а] даны также некоторые обобщения теорем 2 и 3 для других
классов интегралов, отличных от полиномиальных.
ГЛАВА IV
НЕИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ, МАЛО ОТЛИЧАЮЩИХСЯ ОТ
ИНТЕГРИРУЕМЫХ
Рассмотрение препятствий к интегрируемости аналитического характера мы
начнем с анализа "основной проблемы динамики" по Пуанкаре. Речь пойдет о
гамильтоновых системах с гамильтонианом
Я = Н0(уи. ..,у") + sHi(xi, ...,хп,у1,...,уп) + ...
Канонические координаты х mod 2п и у являются переменными действие - угол
"невозмущенной" системы с гамильтонианом Я0. Следуя Пуанкаре, мы
рассмотрим задачи о существовании для этой системы дополнительных
интегралов и нетривиальных полей симметрий в виде рядов по степеням
малого параметра е. Здесь существенное значение имеет классическая схема
теории возмущений, изложенная в § 10 гл. II. Оказывается, интегрируемости
гамильтоновой системы препятствует разрушение большого числа резонансных
инвариантных торов невозмущенной задачи при малых значениях ? ф- 0.
§ 1. Метод Пуанкаре
1. Рассмотрим аналитическую систему дифференциальных уравнений
Уз = ^з + • • • - 1 ^ 3 ^ 171 , , .
(1.1)
Хк = шк + + • • • 1 1 ^ fc ^ ?г .
Здесь шк зависят лишь от "медленных" переменных у € R"1, переменные х
угловые (правые части периодичны по всем Хк с периодом 27г; другими
словами, х ? Тп), ? - малый параметр. Многоточие обозначает члены порядка
^ 2 по е.
Уравнения Гамильтона, мало отличающиеся от интегрируемых, имеют,
очевидно, вид (1.1). В этом случае т = п, частоты
177
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
шk равны дНо/дуь. Уравнения (1.1) часто встречаются в приложениях.
Многочисленные примеры можно найти, например, в книге [12, гл. 5].
Предположим, что система (1.1) имеет s интегралов в виде рядов гто
степеням е:
#" = н?\х, у) + ?Я{°(.т, у) +... , 1 <С г <: s . (1.2)
Функции Нг \ г ^ 0, считаются аналитическими по х,у и 27Г-периодическими
по координатам х, так что интегралы (1.2) являются "однозначными"
функциями в фазовом пространстве системы (1.1). Гамильтоновы системы
всегда допускают интеграл вида
(1.2); это - интеграл энергии.
Рассмотрим задачу о наличии у системы (1.1) дополнительного интеграла в
виде ряда
F = F0(x, у) + sh\(x, у) + ... (1.3)
с аналитическими коэффициентами Fr (г 0), 2я-периодически-
ми по х. Интегралы (1.2)-(1.3) естественно считать независимыми.
Расширим постановку задачи, разыскивая интегралы в виде формальных
степенных рядов вида (1.3). В связи с этим следует дать некоторые
разъяснения. Формальный ряд ^ /,¦?* будем считать равным нулю, если /,¦ =
0 при всех i. Ряд (1.3) - формальный интеграл системы дифференциальных
уравнений (1.1), если формальный ряд
равен нулю. Формальные ряды (1.2), (1.3) считаются независимыми, если
хотя бы один минор (s + 1)-го порядка матрицы Якоби
9 (#",..., #М, Г)
д(х, у)
рассматриваемый как формальный степенной ряд по е, отличен от нуля.
При е = 0 имеем интегрируемую невозмущенную систе-
му yj = 0, Хк - Шк(у). Ее фазовое пространство Rm х Тп = = {у ,х mod 27г}
