Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике" -> 65

Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.

Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике — Ижевск, 1995. — 432 c.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка): simmetriitopologiiirezonansa1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 172 >> Следующая

Уравнения (8.2) допускают интеграл энергии Н. Задача о наличии других
интегралов, полиномиальных по импульсам pi и р2,
158
§ 8. Симметрии геодезических потоков на торе
рассмотрена С. В. Болотиным (см. § 4). В частности, для двумерного тора
необходимое условие существования дополнительного полиномиального
интеграла сводится к равенству
В связи со сказанным, естественно поставить более общую задачу об
условиях существования векторных полей симметрий с полиномиальными
компонентами для уравнений (8.2). В отличие от обратимого случая (Л = 0),
здесь поле симметрий уже не будет однородным. Его можно представить в
виде конечной суммы однородных полей и = ит + ит-1 + ..., deg гц. = к,
расположенных в порядке убывания степени. Степенью поля и назовем
величину deg ит = т.
Ясно, что ит - поле симметрий обратимой системы. Это простое замечание
позволяет использовать теоремы 1 и 2.
Теорема 3 [107а]. Ненулевое поле симметрий первой степени всегда локально
гамильтоново. Оно будет гамильтоновым лишь при условии (8.3).
В случае deg u 2 ситуация иная. Справедлива
Теорема 4 [107а]. Предположим, что уравнения Гамильтона (8.2) допускают
поле симметрий и степени п ^ 2, причем старшие однородные части полей v и
и линейно независимы при Pi = 1) Р2 = i (г 2 = - !)¦ Тогда имеет место
(8.3).
По-видимому, в теореме 4 достаточно потребовать независимости полей и и
V. Пусть поле и гамильтоново с гамильтонианом F = = Fm + Fm-\ + ... Тогда
условие линейной независимости вект оров V и ит в точке pi - 1. р2 = г
эквивалентно тому, что полином Fm не делится на Н.
Ниже даны доказательства теорем 1-4, основанные на методе Биркгофа.
3. Согласно лемме 3 из § 7, Л(Р1* + гР2*) - голоморфная функция от z =
qi + iq2.
Так как Л, Р{, Р2 - гладкие комплекснозначные функции на торе Т2 = mod
27т}, то они ограничены. Следовательно, по
теореме Лиувилля,
где 7i, 72 - некоторые вещественные постоянные.
Лемма 1. Имеет место соотношение 7! = j2 - 0.
Для доказательства вычислим коммутатор [LU,LV] и приравняем нулю
коэффициенты при d/dqi и djdq2. В результате получим
(8.3)
Л(Р1* + iP2) = 7i + 272,
(8.4)
159
Глава III. Препятствия к полной интегрируемости
соотношения
V' л V' 1 Pi Р2 9A dQ 1 . .
"Е^-*Е^ + -^Е^^+^=о, (8.5)
г"2 . ^2
V"' а ^$2 Pi Н" Р2 Х-^4 ^^2 г, /
"Eftss-AE^ + ^Egi^+ftA-"- м
Индекс суммирования А; принимает значения 1 и 2.
Полагая в (8.5) и (8.6) pi = 1, Р2 - i, приходим к равенствам
<*•*>
'Е"^ + Ча-а^-*-л^-о. (-)
Умножим (8.8) на г и сложим с (8.7). В результате получим
а а
Pj* + iP* = -{QJ + iQ5) + г-(Q| + iQ*2), или, учитывая (8.4), oqi oq2
д 72 = + г<^2) + + г<^^' ^8'9^
Усредняя по тору, приходим к равенству
2тт 2тг
Ь, + ы//^ = о.
О о
Следовательно, 71 + 172 = 0. Что и требовалось доказать.
Лемма 2. Имеет место соотношение Q\ + iQ2 = <7 + гсг, где ci, С2 -
вещественные постоянные.
Действительно, равенство (8.9), с учетом заключения леммы 1, является
критерием голоморфности функции Q\ + iQ2. Остается воспользоваться
теоремой Лиувилля.
Лемма 3. Имеет место соотношение /Д = Р2 - 0.
Для доказательства вычислим коммутатор [LU,LV\ и приравняем нулю
коэффициенты при д/др\ и д/др2. В результате получим
160
§ 8. Симметрии геодезических потоков на торе
соотношения
i/г 2ч 92 А л 92Л \ дА^п
~ 2 + Р2) [Qldqf + Q2^) " 8^PkPk ~
З.Рj 1/2 2\ V(tm)' 1 /л , _ ч
-лЕ"8^+§(л+й)Е^8й;=0- <8Л0>
1/2 2ч (/л 92А "д2А\ 9А V- о
-j(p, +л) ("'e^ + *e^) - agT.Ptn '
* V~' дР2 1/2 2ч К-'' QP2 п /0114
-лЕ"в^+2(,,'+^Е^:в^=0- <8Л1>
Положим pi = 1, Р2 = i и воспользуемся леммой 1. Из (8.10) и
дР* дР"
(8.11) вытекают равенства -- + i-zr*- = 0 (к = 1,2). Следова-
oqi 8q2
тельно, Р? - голоморфная функция от z = q\ + iq2. По теореме
Лиувилля, Р? - рк = const (pf. 6 С).
Из соотношения (8.7) с учетом леммы 2 легко выводится ра-
8Q\M 8Q'2M ^
венство р\М = --1-------1 , где М = 1/А. Следовательно,
"91 092
2тг 2тг
pi / / М dqi dqi = 0, откуда щ = 0. Аналогично выводится дг = 0. о о
Лемма 3 доказана.
Одновременно мы получили соотношение
8Q\M 8Q\M % + dq2 -°' (8Л2)
которое будет использовано в дальнейшем.
Положим Q\ = Ф1 -j-г'Фх, Q2 = Фг + г'Фг, гдеФ*,Ф*- однозначные функции на
Т2. В силу леммы 2,
Ф1-Ф2 = сь Ф1 + Ф2 - с2. (8.13)
Равенство (8.12) распадается на два:
дФ 1М ОФ2М д$1 М дФ2М
-ТТ- + "Г- = 0, = 0. 8.14
о?1 092 dqi dq2
Лемма 4. Функция а = Фг - Фг удовлетворяет уравнению
0 82М (д2М д2М\ ... ,0._.
ldqidq2 C2\dq2 8q2 ) + ^ ^ ( ^
где Д - оператор Лапласа.
6 Козлов В. В.
161
Глава III. Препятствия к полной интегрируемости
Уравнение (8.15) просто выводится из (8.13) и (8.14). Оно играет
существенную роль в дальнейшем рассмотрении.
Из леммы 4 § 2 и леммы 3 вытекает, что
Pi={p\ + 1&)Ku * = 1,2, (8.16)
где К{ - полиномы по импульсам степени п - 2. Если бы нам удалось
доказать, что Q\ = QJj = ^ (ср. с заключением леммы 2), то поле симметрий
и можно было бы представить в виде произведения Нw, где w - поле
симметрий степени п - 2. По индукции задача об однородном поле симметрий
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed