Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
гамильтонову полю v, то существует дополнительный по импульсам интеграл
степени не выше п. Эта гипотеза практически полностью доказана в [181а]
(см. п. 2).
Обсуждение связи между группами симметрий и интегралами гамильтоновых
систем начнем с рассмотрения более общей задачи. Пусть Е3 - компактное
трехмерное многообразие, v - касательное векторное поле на Е без особых
точек. Пусть также динамическая система
х = v(x), х ? Е (9-1)
допускает инвариантную форму объема П. Важный пример дают как раз
гамильтоновы системы с двумя степенями свободы. В
этом случае Е - регулярная трехмерная поверхность интеграла энергии, v -
ограничение гамильтонова поля на Е, a Q порождается инвариантной 4-формой
Лиувилля. Все перечисленные объекты (Е, v, Q) считаются аналитическими.
Теорема 1 [181а]. Пусть система (9.1) с инвариантной формой объема
допускает нетривиальное аналитическое поле симметрий. Тогда она имеет
аналитический многозначный интеграл. Если, кроме того,
Н\Е, R) = 0, (9.2)
то имеется непостоянный однозначный интеграл.
173
Глава III. Препятствия к полной интегрируемости
Приравняем нулю коэффициент при d/dpi коммутатора операторов LV,LU,
выпишем однородные слагаемые степени п и положим затем pi = 1, р2 - г.
Врезультаге получим соотношение
дХА . дХА . п"дА дА .
Q1 -д-г + Q2 --г - Rx - R2--г + Р2 ^ ~
dqi dq2 Ldqx *dqx
.dR\ K.8R\ .,kfdPI ,dPI\ n /a ja.
~ ai7 _ Ifa (s^7 + 'Ifa) <8-48>
По формуле Эйлера для однородных функций, выражение в круглых скобках
равно nPf. По лемме 3, Рх = Р2 = 0. Поэтому
уравнение (8.48) принимает вид
ЯАЛ. дХА . 8R\A п,дА. . dR\ . л , .
Qi д г + ^2"^ 1 д З-Ъ-г~ я-г - 0- (8.49)
dqx dq2 dqx dqx dq2 .
Приравнивая нулю коэффициент при d/dp2, получаем аналогичное уравнение
дал 9АЛ 8(д;)А ал а(щ)
Q'sq, Q2d,2 * 8И л а,, (8'50)
Умножим (8.50) на г и сложим с (8.49). Получим
в(Щ + Щ)А .8(R*i + iR2)A п dqi +t дЯ2
т. е. условие Коши - Римана голоморфности функции (R[+iR2)A. Ввиду
ограниченности, она постоянна:
A(i?j + iR2) = <5i + г62 = const. (8.51)
Приравнивая нулю однородные члены степени п- 1 и производя аналогичные
преобразования, можно получить соотношение
. + ,тг-)л + ,."№• +д?)А + Аш.|Л(д. + ^ . 0 (852)
При (5i -(- i62 ф 0, ввиду (8.51), среднее функции А по двумерному
тору равно нулю.
Рассмотрим теперь случай 6Х - 62 = 0, т. е.
R\ + гД* = 0. (8.53)
Приравнивая нулю слагаемые степени 71 - 1 в коэффициентах при d/dqi и
d/dq2 и учитывая соотношение (8.53), получим уравнение
Глава III. Препятствия к полной интегрируемости
Следствие 1. Система (9.1) на замкнутом трехмерном многообразии с нулевым
первым числом Бетти, допускающая нетривиальное поле симметрий, не может
быть эргодической.
Примером служит геодезический поток на двумерной сфере. В этом случае Е
диффеоморфно 50(3) и поэтому выполнено (9.2). С другой стороны, на
трехмерном торе имеются эрогодические динамические системы с инвариантной
мерой и нетривиальными симметриями (см. п. 4 § 3 гл. II).
Доказательство теоремы 1 использует известные факты из теории внешних
форм (см., например, [41]). Для векторного поля w и n-формы Ф через г^Ф
обозначается внешняя (п - 1)-форма Ф(гс, •). Операторы внешнего
дифференцирования d, "внутреннего умножения" г и Lw связаны "формулой
гомотопии":
Lw diw -f- iwd. (9.3)
Пусть u - поле симметрий системы (9.1). Так как Q-форма объема, то
ЬиП = /П, (9.4)
где / - некоторая аналитическая функция на Е. Далее, LvLun = = LuLvn - 0
ввиду инвариантности П. Поэтому Lv(fl1) = = (Lvf)n + fLvn = jn = 0. Так
как П ф 0, то / = 0. Следовательно, / - интеграл системы (9.1). Если
функция / непостоянна, то теорема 1 доказана.
Рассмотрим теперь случай / = с = const. Из (9.4) с учетом (9.3) получаем
d(iun) = сП. Интегрируя обе части этого равенства по компактному
многообразию Е и применяя формулу Стокса, приходим к равенству с/^П =
Jsd(iun) = fgsiuQ = 0. Так как П - форма объема, то с = 0. Итак, в этом
случае форма Q инвариантна относительно фазового потока, порождаемого
полем и, т. е. ЬиП = d(iuQ) - 0.
Рассмотрим теперь 1-форму р> = iviun = П(и,и,-). Покажем, что она
замкнута и инвариантна относительно системы (9.1). Действительно,
dp - div{fyn') - ТДх'цП) 7"(1(7иП) -
- ^иБуП -f- ivL/цП -f- iyiudn - 0,
Eytp - Lyiyipiyufj - ivБу{дуП^ - iviuLvn -f- 0.
Итак, локально, р> = dg, где g - аналитическая функция. Поскольку 0 =
П(и, v, v) = ivip = ivdg = (dg/dx)v, то функция g является интегралом
системы (9.1). Так как П - форма объема, и векторы и, v почти всюду
линейно независимы, то g ф const.
174
§ 9. Симметрии, интегралы и топология
Наконец, если выполнено (9.2), то каждая замкнутая 1-форма (в частности,
ip) будет точной. Теорема доказана.
Следствие 2. В условиях теоремы 1 уравнения (9.1) ин-•щрируются с
использованием дифференцирований и квадратур.
Дополнительные к квадратурам дифференцирования требуются для отыскания
множителя / из соотношения (9.4). Этот результат полезно сравнить с
теоремой Ли (§ 3 гл. II), которая гарантирует интегрируемость в
