Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике" -> 71

Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.

Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике — Ижевск, 1995. — 432 c.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка): simmetriitopologiiirezonansa1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 172 >> Следующая

расслаивается на н-мерные инвариантные торы {х,у : у = г/о,х rood 2гг},
заполненные условно-периодическими траекториями. Координаты у "нумеруют"
эти торы. Невозмушен-ную систему назовем невырожденной, если равенство
акшк(у) = 0 с целыми Qk может выполняться лишь при ак = 0. В фазовом
178
§ 1. Метод Пуанкаре
пространстве невырожденной системы нерезонансные торы всюду плотны.
Например, если т = п и якобиан
det
¦ ¦ -;Шт)
отличен от нуля, то система будет невырожденной. В частности,
для гамильтоновых систем достаточным условием невырожден-
д2Н0
0 ф 0.
ности является det
%' dyj
Разложим функции в кратные ряды Фурье: = ^Ф^(у)ехр[г'(а,:с)] , aGZ
(1.5)
В дальнейшем анализе важную роль играет множество Пуанкаре Ps С Кт = {у},
которое является аналогом векового множества из § 10 гл. II. По
определению множество Пуанкаре состоит из тех точек у G Кт, для которых
найдутся такие т - s линейно независимых целочисленных векторов а, а',...
? Ъп, что
(1) (а, ш(у)) = (а\ ш(у)) = ... = 0;
(2) векторы Фа = (Ф*,... ,Ф(tm)), Фа< = (ф!()... ,Ф^(), ... линейно
независимы.
В типичной ситуации множество Р" всюду плотно в Кт.
Обозначим через C^(V) класс функций, аналитических в области V С К".
Множество М С V назовем ключевым (или множеством единственности) для
класса CW(V), если любая аналитическая функция, равная нулю на М,
тождественно обращается в нуль всюду в V. Таким образом, если
аналитические функции совпадают на М, то они совпадают на всем V.
Например, множество точек интервала Д С К является ключевым для класса
Си(А) в том и только в том случае, когда оно имеет предельную точку
внутри Д. Достаточность этого условия очевидна, необходимость вытекает из
теоремы Вейерштрасса о бесконечном произведении. Отметим, что если М -
множество единственности для класса функций CP(V) (0 ^ р ^ оо), то М
плотно в V.
Теорема 1. Предположим, что невозмущенная система невырождена. Пусть в
некоторой точке у0 G Iftm матрица Якоби
(1.6)
имеет максимальный ранг, и в любой ее окрестности U множество Пуанкаре Ps
является ключевым для класса CU(U). Тогда систе-
..,яМ)
д{уи. • 1 Ут)
179
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
ма (1.1) не имеет формального интеграла (1.3) с аналитическими
коэффициентами, независимого с интегралами (1.2).
Для доказательства теоремы 1 helm понадобится
Лемма 1. Пусть функции Fr(x,y) непрерывно диффе-
(X)
ренцируемы, и ряд Fr(x, у)ег -формальный интеграл системы
г-О
(1.1), невырожденной при s = 0. Тогда
1) До не зависит от х;
2) ранг матрицы Якоби
d(F0,Hjl\...,H{0s))
d{yi,.-.,ym)
не превосходит s в точках у G Р,.
(1.7)
Доказательство. Приравнивая нулю правую часть равенства (1.4), получим
цепочку уравнений
- (1'8)
Умножим первое уравнение на ехр[-i(a,x)\ (a G Z") и усредним обе его
части по n-мерному тору Т":
rV I e~i(a'X) dnx = 0.
(2тг)" JT" { dx ' J
Интегрируя по частям, приходим к равенству
(а,о;)/а=0, а€Г, (1.9)
где fa = \ / Доег(а,х) dnx - коэффициент Фурье F0 как функ-
(27г)'1 Jt"
ЦИИ ОТ X.
Функция (а, ш{у)) аналитична и при всех а ф 0 не обращается тождественно
в нуль. Следовательно, на всюду плотном множестве Кт = {г/} множитель (а,
ы) не равен нулю. Согласно (1.9), fa{y) = 0 для всех а / 0, и поэтому
функция Fo не зависит от х.
Теперь умножим второе уравнение на ехр[-г(а, х)], усредним его по тору Тп
и проинтегрируем по частям. В результате получим
г(1) , (9F0
цепочку соотношений i(a,<x)Fa + ,Ф" ) = 0 (a G Zn),
где
F'a^-коэффициенты Фурье функции Д\.
180
§ 1. Метод Пуанкаре
Пусть теперь у € Р.,. Тогда ^^,Фа^ = | = ... = 0.
Следовательно, градиент функции F0 лежит в s-мерной плоскости П,
ортогональной линейно независимым векторам Фа,Фа,... Функции (1.2)
являются интегралами (1.1), поэтому градиенты
•функций Ht[
(1)
Hq лежат в той же плоскости П. Таким обра-
зом, в точках у ? Ра функции F0, Н^\..., зависимы: ранг их матрицы Якоби
(1.7) падает на единицу. Лемма доказана.
Доказательство теоремы 1. Согласно лемме 1, функции ..., Hq'* зависят
только от переменных у. Следовательно, s ^ т. Эти функции независимы в
точке у0, поэтому можно считать, что в некоторой малой окрестности точки
у0 функции (1 ^ г ^ s) составляют часть локальных координат z\,... ,zm:
zr =
= Hq\ r ^ s. Следовательно, F0 = G0(zi,..., zm), и G0 аналитична.
По лемме 1, ранг матрицы Якоби (1.7) не превосходит s во всех точках
множества Пуанкаре Ра. Все миноры этой матрицы являются аналитическими
функциями от х, у, и множество Ра ключевое для класса аналитических
функций, поэтому функции
F0, ..., Hq'1 всюду зависимы. В новых переменных {z:l} мат-
рица (1.7) имеет вид
dG0 dG0 dG0 dG0
dz, dZ2 dz" dz,
1 0 0' . 0
0 1 0 0
0 0 1 0
Ее ранг равен s, поэтому функция G0 не зависит от za+1,..., zm. Итак, в
области U х Тп С Em х Т'1 (U - малая окрестность у°)
имеем равенство Fo = G0 (нф,..., Hq'1).
Рассмотрим теперь степенной ряд
1 г" G0(H^,...,H^)
F' =
F' + eF[ + ...
(1.10)
Коэффициенты Fp,F(,...- аналитические функции в прямом произведении U х
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed