Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
свелась бы к задаче о поле симметрий степени п ^ 2. К сожалению, в общем
случае Q*k Ф 0.
Лемма 5. Справедливо равенство
\ IT1 + \ IT1 + ^ 1 + = щ + il>2 = const' (8Л7)
2 dqi 2 dq2
Доказательство. Ясно, что
dPi . о 7. dKt dPi . 2 о. dl<i
Подставляя (8.16) и (8.18) в уравнения (8.10) и (8.11), сокращая на р2 +
pi и подставляя затем р\ - 1, р2 = г, получим два равенства:
Q\d2A Q\ d2A ,T.tdA Kdl<\ ..dK[ ,rytdA n 2 dq2+ 2 dqidq2+t 2 dqx + dqx
dq2 ' * 1 dq2 '
QI d2A
(8,19)
2 dq\dq2 2 dq% dq2 dqi dq2 dq
Полагая снова M = l/A, преобразуем сумму d2A d ("...dA'
a (q.u2T\ . bq}m\ ал
dq2 \ dqi) \ dqx dq2 ) dqx'
В силу (8.12) последнее слагаемое равно нулю. Аналогично,
- к ("О+к (""?) ¦
Умножим первое уравнение (8.19) на А/, второе на /А/. сложим и
воспользуемся только что полученными соотношениями. В ре-
162
§ 8. Симметрии геодезических потоков на торе
зультате придем к равенству 1 д
9 a \WM]r + iWM7r
2 dqi \ dqi dq2
+ \ъ~ iQ'2Mir + iQ*M+
2 dqi \ dqi oq2J
+ ^(K{ + iK*2) + i^{K[ + iK2) = 0. (8.20)
Преобразуем сумму
d_ dqi
. d 1 dqi . d 1 dq2 d
- г-
(e;+iQ;)M|A
.d (~hjrdA
dqi\Ql dq2)+ldqi{Ql dqi
i{ci + ici)
_d__
dq2
M
dA
dqi
4: (03
(8.21)
Здесь было использовано тождество Q\ + iQ2 = ci + ic2 (лемма 2). Так как
МА = 1, то последнее слагаемое в (8.21) равно нулю. С учетом этого
замечания сумма первых двух слагаемых в равенстве (8.20) принимает вид
\ik +QiMlt)+ ^ (Q;M^ + QlM^t
Однако, с учетом (8.12),
dQ\MA dQ*2MA
Q\M-~ + QiMir- = ----------- +----------x-------
dqi dq2 dqi dq2
-A
dQ\M dQ\M
dqi
dq2
dQl dQ\ dqi dq2 '
(8.22)
Итак, получаем окончательно
d_
dqi
1 dQ\ IdQ
+
2 dqi 2 dq2
+ k\ + uq
+
,d_ 1 dq2
1 OQl 1 dQ\
2 dqi 2 dq2
= 0.
163
Глава III. Препятствия к полной интегрируемости
1 dQl 1 8Q*
Следовательно, по теореме Коши - гимана, - --1-- +
2 oq\ 2 dq2
+ К[ + iK2 -голоморфная функция от q\ + iq2. Ввиду ограниченности, она
постоянна. Лемма доказана. , др \ .
Пусть F - полином по pi,P2- Для краткости ( -- ) будем обо-а/г* d2F*
d2F* \opkJ
значать --. Очевидно, --- - ¦---¦¦ .
opk opifdqj dqjdph
Лемма 6. Имеет место соотношение н\ = н2 = 0.
Используя (8.16), продифференцируем (8.5) по pi, а (8.6)-по р2, и
подставим р\ = 1, р2 - г. В результате получим соотношения
у'" ДА 8QI дА у^ dQ\ дА Чкд(]к -с z. flpi dqk + Z. +
+ 2"-rA-A^-A^|i--*A^|i-=0, (8.23)
9Л . у-"ч 9Q1 9Л ^Q2
+М5А.*Й.й'Й..д"Й..1 (8.24)
dq2 dq2dp2 dqydp2
Так как Q\ и Q2 - однородные многочлены по импульсам сте-
пени п - 1, то по теореме Эйлера --pj - (п - l)Qk (к = 1,2).
j "Pj
Подставляя р\ = 1, р2 = г, приходим к соотношениям
дрГ + = 1^*' к=1'2' (8/25)
Умножим уравнения (8.23) и (8.24) на А4, сложим их и воспользуемся
формулами (8.22) и (8.25) После несложных преобразований получим
соотношение
§ 8. Симметрии геодезических потоков на торе
8Q\ 8Q%
Положим г = ----------------------. С учетом (8.25) получим соотношения
др2 др 1
dQl , 8Q\ 8Q\ , 8Q\ . (dQ*2 , 8Q\ , .
+ - = тт 1" -------------1 t,-------H - - гг =
dpi dp2 dpi dp2 \ dpi dp2
= (n - l)QJ - i(n - 1)Q*2 - ir,
"e;+1M = ("_1)Q;_,v,
dpi dpi
dQ\ ,8Q*2
г-
(n - 1)Q5 +
dpi dpi
Подставляя эти соотношения в (8.26) и используя (8.22), получаем:
1 9Q\ 1 dQJ
К[ + И<2 =
2 dqi. 2 dq2
п - 1 8 . ii - 1 . 8
(Q\ + iQ,2) + -i^iir-(Ql+iQd
2 dg^1 1 1 2 dq2
1 dr 1 dr г ,.8A 1 ,,8 A .
1----------------1-AI--r - - AI--r. (8.27)
2 dqi 2 dg2 2 d9i 2 8q2 K '
По лемме 2, QJ + iQ*2 = const. Легко проверить, что сумма пос-
г / дгМ ,8гМ\
ледних четырех слагаемых в (8.27) равна --Л ---------------h г-- .
2 V dqi dq2 J
В итоге равенство (8.27), с учетом (8.17), принимает вид
г , /дгМ 8гМ\ . г (дгМ ,8гМ\ .
-у Ыг+'ж) =1,1+'"г' шш Ur+1'ж J= ^+
-(- iv2)M. Усредняя по двумерному тору, получаем соотношение
2л* 2л*
гц + г(у2 у у ^dqidqi _ о.
47Г2
о о
Поскольку М > 0, то гц = Г'г = 0. Лемма доказана.
" дгМ .дгМ
При этом мы получили равенство - h г-- = 0, которое
dqi dq2
является условием голоморфности функции гМ. По теореме Лиу-вилля, гМ = сз
+ гс4.
Итак, справедлива
Лемма 7. Имеет место соотношение
^-7р = (сз + ас4)Л. (8-28)
dpi dpi
165
Глава III. Препятствия к полной интегрируемости
Отметим наконец, что равенство (8.17) (с учетом заключения леммы 6) можно
переписать в эквивалентном виде
до*, 8Q; эр; эр;
dq 1 dq2 дрг др2
Подведем итоги выкладок п. 3:
= ^2 = Qi + г<?2 = С1 + гс2;
кроме того, функции и Q*2 удовлетворяют уравнениям (8.12), (8.15), (8.28)
и (8.29).
4. Доказательство теоремы 1. При п - 1 функции Qk не зависят от импульсов
(так что Q*k - Qk), а
Pk = a-kPi + ЪкР2, к =1,2.
В силу леммы 3, Рк - йк + гЬк = 0. Следовательно, а* = Ьк = 0 и P* = 0(fc
= l,2).
Так как Qk - вещественные функции, то, согласно лемме 2, Qk = Ск = const
(к = 1,2).
г 9 д
Поле и с оператором дифференцирования Lu = с\-------1- с2--
dqi oq2
гамильтоново: гамильтонианом служит линейная функция F - = Cjpi + с2р2,
которая является интегралом уравнений движения. Теорема 1 доказана.
В силу (8.12), функция М = 1/Л удовлетворяет уравнению
