Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
что ух = -К(у2,...,уп, х2,...,хп, т, е, h), т = хх.
Поскольку ххф
Ф 0, то решения yLt(t),xg(t) (s Js 2) исходных уравнений можно считать
функцией т. По теореме Уиттекера, функции у"{т),хЙ(т) (s 1? 2)
удовлетворяют каноническим уравнениям
dy^ _ _дК_ dx±_dK_ dr dxs ' dr дув
Действительно, ^ = Р = - (• Диффе-
ат dx\ х\ \охв/ / \оух J
ренцируя тождество Н(-К, у2,..., уп, т, х2,..., хп, г) = /г по х", по-
эн днэк " dy, дк . . 4
лучим ----------=0. Следовательно, -- = - -- (2^s^n). Ана-
ох, дух dxs dr oxg
логично выводится вторая группа канонических уравнений.
Уравнения (1.16) имеют необходимый вид (1.15).
Полезно снова ввести множество Пуанкаре Р" (аналог множества Pj) как
множество точек у G D, удовлетворяющих следующим условиям:
1) существуют такие п линейно независимых векторов a* G Z" и п целых
чисел тп,, что (а(r),+ ms = 0 (1 ^ s ^ п);
2) коэффициенты Фурье Hk,m,{y) разложения возмущающей функции Нх = Yl
Нкт{у) exp[г((к, a) -f mt)\ отличны от нуля.
Отметим, что если уравнения (1.15) являются уравнениями Уиттекера,
полученными из автономных уравнений Г амильтона с гамильтонианом (1.12)
понижением порядка, то множество Пуанкаре Р, приведенной системы является
проекцией на плоскость Е11"1 = {у2,..., уп) пересечения множества
Пуанкаре Pi исходной системы с поверхностью Н0(ух,..., уф) = h.
184
§ 1. Метод Пуанкаре
Теорема 5. Если функция Но невырождена в области D, и множество Р, -
ключевое для класса C!~ (D), то уравнения (1.15) не имеют формального
интеграла Fe(y, x,t)ee с аналитически-
s>0
ми коэффициентами F4 : D х Tn+1 -* Е.
Доказательство теоремы 5 основано на последовательном применении
следующего утверждения, подобного лемме 1 из п. 1:
Лемма 2. Пусть Fs : D х Т"'1 -* Е -непрерывно дифференцируемые функции,
ряд )Р F-F -формальный интеграл канонических уравнений (1.15) с
невырожденной функцией Но. Тогда
1) Fo(y,x, t) не зависит от х и t;
2) dFo = 0 на множестве Р".
Если множество Пуанкаре Р. всюду плотно в области D, то уравнения (1.15)
не имеют, очевидно, формального интеграла с непрерывно дифференцируемыми
коэффициентами.
5. Как уже говорилось во введении, постановка задачи об интегралах
возмущенных гамильтоновых систем, аналитических по малому параметру,
принадлежит Пуанкаре [225; 146, гл. V]. Предполагая множество Р] всюду
плотным, Пуанкаре доказал отсутствие "однозначных" интегралов,
независимых с интегралом энергии и аналитических по фазовым переменным и
параметру е. В работе [75] показано, что предположение о плотности
множества Pi можно ослабить: достаточно, чтобы Pi было ключевым
множеством для класса аналитических функций. В докладе автора на семинаре
им. И. Г. Петровского [80] было дано распространение метода Пуанкаре на
случай, когда интегралы разыскиваются в виде формальных рядов по степеням
? с аналитическими или гладкими коэффициентами (см. теоремы 3 и 4).
Распространение метода Пуанкаре на гамильтоновы системы с периодическим
гамильтонианом содержится в [75]. Обобщения результатов Пуанкаре на
негамильтоновы системы стандартного вида (1.1) (см. теоремы 1 и 2) в
литературе, по-видимому, не обсуждались.
Укажем на одну нерешенную задачу: верно ли, что в предположениях теорем
3-5 при малых фиксированных значениях параметра ? ф 0 гамильтоновы
системы не имеют однозначных интегралов соответствующей гладкости? В
связи с этой задачей интересно отметить, что при малых значениях ?
гамильтонова система (1.15) с полутора степенями свободы (n = 1) всегда
имеет непостоянный непрерывный интеграл. Это вытекает из теоремы А. Н.
Колмогорова о сохранении условно-периодических движений (см. [12, гл. 5],
а также § 10 гл. II): при малых значениях е колмого-ровские торы образуют
совершенное нигде не плотное множество, причем при n = 1 эти торы "делят"
фазовое пространство на связ-
185
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
ные куски. Искомый непрерывный интеграл является "канторовой лестницей":
непрерывная функция полагается постоянной в связных щелях между
колмогоровскими торами.
При п > 1 дополнение к множеству колмогоровских торов связно, поэтому
непостоянную канторову лестницу построить уже нельзя: это дополнение
всюду плотно в фазовом пространстве возмущенной системы, и любая
постоянная на нем непрерывная функция принимает всюду одно и то же
значение. В частности, появляется принципиальная возможность наличия
траекторий, всюду плотных в связной щели между колмогоровскими торами. Не
исключено, что на самом деле такая ситуация является .типичной
(обсуждение см., например, в [9]). Отсюда вытекало бы несуществование
непостоянных непрерывных интегралов возмущенных вполне интегрируемых
гамильтоновых систем.
§ 2. Приложения метода Пуанкаре
1. Обратимся к ограниченной задаче трех тел, рассмотренной в § 5 гл.
I. Предположим сначала, что масса Юпитера р. равна нулю. Тогда в
"неподвижном" пространстве астероид вращается вокруг Солнца единичной
массы по кеплеровским-орбитам; пусть орбиты - эллипсы. Удобно перейти от
