Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
ж GPi ~ FP2 метрии с гамильтонианом Ф = ^
Поле и2 также должно быть полем симметрий. Легко проверить, что условием
коммутирования полей v и и2 является
Так как А > 0, то можно положить N = In А. Уравнение (8.41) эквивалентно
уравнению AN = 0. Ограниченная гармоническая функция постоянна, поэтому А
= const. Следовательно, если А - не постоянная функция, то со = 0.
Нам осталось рассмотреть оставшийся вырожденный случай d = С2 = 0.
Покажем, что при этом поле симметрий коллинеарно гамильтонову полю v.
Действительно, соотношение Q*x + iQ\ = 0 приводит к равенствам
ai ~ Ь2 = 0, а2 + Ьх = 0. (8-42)
169
Глава III. Препятствуя к полной интегрируемости
С учетом соотношений = Р2 = 0 получаем, что функции Qk и Рк имеют
следующий вид:
Qi = aiPi ~ 0.2Р2, Qi = a2Pi + aiP2!
Рк = ?ь(р\ + Рг)' k = 1,2.
Далее, равенства (8.29) и (8.42) дают нам, что да\ дао " да\ дао
^ + -^ + 2^ = 0, -L _ _? + 2& = 0.
dqi dq2 dq2 dqi
Кроме того, из (8.28) и (8.42) получаем соотношение
02 = агЛ, а2 - const. (8.43)
Условие коммутирования полей и и т приводит к уравнениям
/ /" д ai д а2 " д а2 д ai " ^
(см. (8.12)) _ + - х = о и - - х
+ -х = 0. С учетом
до до
(8.43), они приводятся к виду -5 = - = 0.
Следовательно,
dqi A dq2 А
aj = сцЛ, где aj = const.
Таким образом, поле симметрий и имеет вид
q[ = A(aipi - а2р2) , q'2 = А(а2рх + aip2),
1 f dA dA
(a,|;+Q2fs)(pf+p>)' (8'44)
1 / вл ел , , 2 J,
Слагаемые, содержащие оц, дают поле, пропорциональное исходному полю v.
Поэтому можно положить ai = 0. Но тогда (8.44) совпадет с полем (8.40), в
котором надо положить с\ = 0. Однако, как показано выше, оно коммутирует
с полем v лишь при а2 = 0. Теорема 2 доказана.
6. Доказательство теоремы 3.
С учетом результатов п. 4 поле симметрий первой степени необратимой
системы имеет вид
9i= ci, q2 = c2, p[=?i, Р2 = &, (8.45)
где ci,c2 - некоторые постоянные, ?1,^2 - функции на двумерном торе. При
этом, согласно п. 4, функция Л удовлетворяет уравне-дА дА
§ 8. Симметрии геодезических потоков на торе
Легко видеть, что условия коммутирования исходного гамильтонова
векторного поля v и поля (8.45) приводят к равенствам
* л дХ дХ п
Ci = (,2 = 0, с\ -1- сгт,- = 0.
dq1 dq2
Таким образом, вид поля симметрий первой степени в необратимом и
обратимом случаях один и тот же; при этом функции А ч Л удовлетворяют
одному и тому же уравнению. Если ci/сг иррационально, то А = const и А =
const. В противном случае (т. е. с\/с2 = k/l, где k,l Е Z) можно перейти
к новым угловым координатам (р\ и по формулам (8.30) и (8.31). Ясно, что
правые части уравнений (8.2) не будут зависеть от координаты (р2, и поле
симметрий примет простейший вид
<Pi =0, <^2 = 1, ф[ = 0, ф2 = 0, (8.46)
здесь фх, ф2- канонические переменные, сопряженные с <pi, ц>2. Является
ли поле (8.46) гамильтоновым? Эта задача сводится к разрешимости
уравнений (см. (8.2))
О - - дФ
~ W ~Ыь'- . ,
дФ . Ж дФ . . дФ К 4
0=-^+A(^W 0Z= ~д^2~
Очевидно, Ф = ф2 + а, где а - пока не известная функция на торе Т2 =
mod 27г}. Из последних двух уравнений систе-
да да
мы (8.47) получаем искомые соотношения - = A(o?i), -- = 0.
oip i д<р2
Следовательно, а - функция только от уц, причем а' = А. Отсюда а = (X)ipi
Т- А, где А - однозначная функция на торе, (А) =
Таким образом, в необратимом случае поле симметрий локально гамильтоново.
Гамильтониан Ф будет однозначной функцией в фазовом пространстве, если
(А) = 0.
7, Доказательство теоремы 4. Рассмотрим поле симметрий степени п ^ 2,
задаваемое уравнениями
q'k ~ Qk + Sk + . . • ! p'k = Pk + Rk + Tk + • . • , k = 1,2.
Ядесь Pk¦ Qk, Rk• 'п.. '[)¦ однородные многочлены по импульсам Pi, р2
степени n, п - 1, п- 1, п - 2, п- 2 соответственно. Многоточия означает
слагаемые степени меньше п - 2.
171
§ 9. Симметрии, интегралы и топология
Если ci -f гс2 ф 0, то среднее функции А равно нулю. При pi = = 1, Р2 = г
функции Pi, Р2 обращаются в нуль, поэтому старшие однородные части
векторных полей v и и в точке р\ = I, рг = г равны соответственно (Л, Лг,
0,0) и (Q],Q2,0,0). Эти векторы линейно независимы, если Q\i - Q2 = i{Q\
+ iQ2) = i{c\ + гс2) ф 0. Теорема доказана.
Замечание. По индукции можно доказать, что если среднее функции А по тору
отлично от нуля, то Q\ + iQ2 = S[ -f- iS2 = = ... = 0. Если поле
симметрий гамильтоново с гамильтонианом Fm + Fm-1 + . • •) то все
полиномы F)t (к ^ т) делятся на Н. Отсюда, в частности, следует теорема
С. В. Болотина (теорема 3 из § 4).
§ 9. Симметрии, интегралы и топология динамических систем с двумя
степенями свободы
1. Как уже говорилось, интегралы уравнений Гамильтона порождают поля
симметрий (которые называются гамильтоновыми). С другой стороны, пример
(8.1) показывает, что не каждое поле симметрий гамильтоновой системы
является гамильтоновым (или даже локально гамильтоновым).
Теоремы 1-3 из § 8 приводят к следующему предположению, высказанному в
работе [107а]: если геодезический поток на замкнутой поверхности
допускает полиномиальное поле симметрий степени п, не коллинеарное
