Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
Тп. Ясно, что ряд (1.10) - формальный интеграл уравнений (1.1). Согласно
лемме 1, функция Fq не зависит от угловых переменных х, и функции Fq, Н^\
..., зависимы во всех точках множества Ра П U. Согласно предположению
теоремы 1, множество Ра П U ключевое для класса функций Сшф).
Следовательно, эти функции зависимы во всех точках
181
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем,
окрестности U. Поэтому в области U справедливо представление
- формальный интеграл уравнений (1.1), и к нему снова можно применить
указанную выше процедуру.
Согласно (1.10), F = Go (Я^,..., Н^) + eF', а равенство (1.11) дает
соотношение F' -- G\(Я(1\ ..., //W) + sF". Следовательно, F = 00(1^ +
60^1) +a2 FT
Применяя последовательно лемму 1, приходим к формальному разложёнию F =
Go + sG\ + s2G2 + . •., где все коэффициенты Gr являются функциями от
интегралов ..., ЯМ. Следовательно, любой минор порядка (s + 1) матрицы
Якоби интегралов (1.2) и
(1.3) равен нулю как формальный степенной ряд по г. Теорема 1 полностью
доказана.
2. Теорема 2. Предположим, что при г = 0 система
(1.1) невырождена, ранг матрицы Якоби (1.6) равен s в области D С Rm =
{у}, и множество Р, всюду плотно в D. Тогда (1.1) не имеет формального
интеграла (1.3) с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами,
независимого с интегралами (1.2).
Это утверждение просто доказывается методом п. 1. Пусть s = = 0, и
множество Р0 всюду плотно в D. Тогда система (1.1) не имеет формальных
интегралов вида (1.3) с непостоянными непрерывно дифференцируемыми в
области D х Тп С Rm х Тп коэффициентами. Действительно, согласно лемме 1,
функция Ро зависит лишь от у, и dFo = 0 в точках множества Ро- Так как Ро
всюду плотно, то dFo = 0, поэтому Fo = const. Далее, формальный ряд F\ +
eF2 + ... - интеграл уравнений (1.1). Снова применяя лемму 1, получим,
что F\ = const. Аналогично доказывается, что все остальные коэффициенты
ряда (1.1) постоянны.
3. Применим результаты пп. 1 и 2 к уравнениям Гамильтона с гамильтонианом
Н = #0(У1, ...,yn) + eHi{xu ...,хп, ух,..., уп) + ... (1.12)
Эти уравнения, очевидно, имеют вид (1.1). Разложим возмущающую функцию Hi
в кратный ряд Фурье:
Fq = G] (Н^\ ... , Н^), где G\ -- некоторая аналитическая функция.
Степенной ряд
F" = ~ F' - Gx (tfW,..., ЯW) = F" + sF'- + . .. (] .11)
182
§ 1. Метод Пуанкаре
Фа из п. 1 равны, очевидно, -iaHa. Как уже отмечалось в п. 1, частоты од.
совпадают с частными производными дНо/ду^.
Рассмотрим задачу о наличии дополнительного к интегралу энергии И
формального интеграла в виде ряда (1.3) с аналитическими в области DxT"
коэффициентами. Согласно п. 1, надо положить s = 1. В нашем случае
множество Пуанкаре Pi опредено как множество тех точек у Е D, для которых
найдутся такие п- 1 линейно независимых векторов а, а',... G Ъп, что
1) (а, ш{у)) = (а1, ш(у)) = ... = 0;
2) На{у) Ф На'{у) Ф 0i
Теорема 3. Предположим, что невозмущенная гамильтонова система
невырождена, т. е. det \\d2Ho/dyidyj || ф 0 в области
D. Пусть у0 G D -некритическая точка функции Н0, и в любой ее
окрестности U множество Pi П U является ключевым для класса функций
CU(U). Тогда уравнения Гамильтона с гамильтонианом
(1.12) не имеют независимого от функции Н интеграла в виде формального
степенного ряда
'^FT{x,y)er (1.13)
О
с аналитическими в области D х Тп коэффициентами.
Это утверждение - следствие теоремы 1 из п. 1. Из теоремы 2 просто
выводится
Теорема 4. Пусть функция Но невырождена в области D и множество Пуанкаре
Pi всюду плотно в D. Тогда уравнения Г амильтона не имеют независимого от
Н формального интеграла
(1.13) с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами Fr : D х Tn -* 1.
Для множеств Пуанкаре Р, имеют место включения Ро С Pi С С Рг С ... С Pn-
i С В, где В - вековое множество, введенное в § 10 гл. II. Ясно, что для
гамильтоновых систем в общем случае множество Ро состоит из изолированных
точек.
Пусть Р"_1 является ключевым для класса С"(D) и гамильтонова система с
гамильтонианом (1.12) имеет п формальных интегралов
F0(1) + eF^ + ... .
.................................. (1-14)
F0(n) + eF}n) + ...
с аналитическими коэффициентами, 27Г-периодическими по х. Тогда функции
Fq1\ ... ,F0(n) зависимы во всех точках D х Тп. Этот
183
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
результат является простым следствием леммы 1. Не исключено, что из
ключевого свойства множества Рг1... ] вытекает зависимость формальных
интегралов (1.14), но это пока не доказано.
4. Рассмотрим теперь неавтономную каноническую систему уравнений
ВЫ вы
У=--, х= - \ Н = H0{y) + eH1(y,x,t) +... (1.15)
ох оу
Функция Г амильтона Н предполагается аналитической и 27г-пе-риодической
по х и t.
Уравнения (1.15) возникают, например, при изучении автономной
гамильтоновой системы, когда в качестве новой переменной времени берется
одна из угловых координат х. Пусть, например, дН/дух ф 0. Тогда (по
крайней мере локально) можно решить уравнение Н(у,х, е) = h
относительно ух и в результате получить,
