Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
прямоугольных координат к каноническим элементам Делоне L,G,l,g: если а и
е - большая полуось и эксцентриситет орбиты, то L = ^/а, G = \/а(1 - е2),
д - долгота перигелия, I - угол, определяющий положение астероида на
орбите, - эксцентрическая аномалия [173]. Оказывается, в новых
координатах уравнения движения астероида будут каноническими с
гамильтонианом Го = -1/(2L2). При р ф 0 полный гамильтониан Г разлагается
в ряд по возрастающим степеням р: F = Fo + pFi + ... В подвижной системе
координат, связанной с Солнцем и Юпитером, кеплеровские орбиты вращаются
с единичной угловой скоростью, поэтому F зависит от L,G,/ и д - t.
Положим ух = L, у2 - G, хх = /, х2 = д - t и Н = F - G. Функция Н теперь
зависит лишь от х, у, причем относительно угловых переменных Х\,Х2 она
27г-периодична. В итоге уравнения движения астероида представлены в виде
гамильтоновой системы
dH . дН 1
Уг = , xi = 0^7 ; Н= Яо+цЯх-Ь... , Но = ^2+У2- (2.1)
Разложение возмущающей функции в кратный тригонометрический ряд по углам
х\ и х/ было изучено еще Леверье (см., например,
(X) IX)
[173]). Оно имеет вид Н\'= ^ Yh FIuvcos[ux\ - a(a:i + х2)]. Ко-
U~-(X) V- - <Х)
эффициенты IIuv. зависящие от у\ и у2, вообще говоря, отличны от нуля.
186
§ 2. Приложения метода Пуанкаре
Множество Пуанкаре Р этой задачи состоит из прямых, параллельных оси у2'.
и/у\ - v = О, Huv Ф 0. Оно всюду плотно заполняет полуплоскость у\ > 0.
Однако применить теорему 4 об отсутствии новых аналитических интегралов
непосредственно нельзя из-за вырождения невозмущенной задачи: det
\\д2Но/ду2\\ = 0. Эта трудность преодолевается тем, что канонические
уравнения с гамильтонианами Н и exp Н имеют одни и те же траектории (но
не решения). Следовательно, эти уравнения интегрируемы или неин-
гегрируемы одновременно. Остается заметить, что
ехр Я = ехр Но + д(ехр Щ)Н\ + ... , det ||Э2(ехр Но)/ду2\\ ф 0 .
Итак уравнения ограниченной задачи трех тел в форме (2.1) не имеют
независимого от функции Я формально аналитического по параметру у
интеграла Ф - ]>] Фщч, коэффициенты которого- гладкие функции на
множестве D х Т2 = {у,х}, где D - произвольная область в полуплоскости у\
> 0.
К автономной гамильтоновой системе (2.1) можно применить процедуру
понижения порядка по Уиттекеру. Зафиксируем постоянную энергии h < 0 и
разрешим уравнение Н(х,у,у) - h относительно У2- Получим -У2 =
K(y\,X\,X2,h, у) = Ко + уК\ + ..., К0 = -1/(2 у2).
Если выбрать в качестве новой переменной времени переменную Х2 - т,
функции Х\ = х(г) И ух = у(т) будут удовлетворять уравнениям Уиттекера
dy дК dx дК .
Тг = -1ь' Тт = Щ- (2'2)
Для этих уравнений множество Пуанкаре Р, также будет всюду плотно на
полупрямой у > 0. Невозмущенная система невырождена (d2Ko/dy2 ф
0), поэтому выполнены все условия теоремы 5
из § 1. Таким образом, можно заключить, что уравнения (2.2) при
всех значениях полной энергии h < 0 не имеют первого интеграла Х)Фа/У с
непрерывно дифференцируемыми коэффициентами в области А х Т2 - {у,х,.т},
где Д - произвольный интервал полупрямой у > 0.
2. "Перейдем к другой задаче, а именно к задаче о движении тяжелого
тела вокруг неподвижной точки... Можно спросить, препятствуют ли
существованию однозначного интеграла, отличного от интегралов живых сил и
площадей, соображения, изложенные в этой главе" (А. Пуанкаре [146, п.
86]).
Группе симметрий, состоящей из поворотов тела вокруг вертикальной прямой,
соответствует линейный интеграл (/оду): проекция кинетического момента на
вертикаль постоянна. Фиксируя
187
Глава IV, Неинтегрируемость гамильтоновых систем
эту постоянную, понизим число степеней свободы до двух: на четырехмерных
интегральных уровнях Мс = {07,7 : (1ш,7) = с, (7,7) = = 1} возникает
гамильтонова система с двумя степенями свободы. Ее функция Гамильтона-
полная энергия тела с фиксированным значением проекции (1оц7) - равна Но
+ еН 1, где Но - кинетическая энергия (функция Гамильтона интегрируемой
задачи Эйлера о движении тела по инерции), а еН\ -потенциальная энергия
тела в однородном поле силы тяжести (г - произведение массы тела на
расстояние от Центра масс до точки подвеса). Будем считать параметр е
малым; это эквивалентно изучению быстрых вращений тела в умеренном
силовом поле. В невозмущенной интегрируемой задаче Эйлера можно ввести
переменные действие- угол у,х mod 2п. Формулы перехода от специальных
канонических переменных L, G, l,g к переменным действие - угол у, х можно
найти, например, в работе [14]. В новых переменных Н - - Н[)(у) + sHi (у,
х). Переменные действия у\, уг могут изменяться в области А = {|з/11 ^
у2}. Гамильтониан i/o(2/1,2/2)-однородная функция степени 2,
аналитическая в каждой из четырех связных подобластей Д, на которые делят
область три прямые 77, тт2 и г/i = 0. Уравнение 2Щ/у2 = 121 задает прямые
лу и 7Г2; они симметричны относительно вертикальной оси и стремятся к
прямой 7/1=0 при /2 -> 1\ или к паре прямых [2/11 = у2 при /2 -> h
(напомним, что 11, /2, /3 - главные моменты инерции тела, /1^/2^ /з)-
