Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
Яо(ж, у) + еН\(х, у) + ... с аналитическими и 27Г-периоди-ческими по х
коэффициентами. Тогда, согласно результатам § 1, множество Пуанкаре Ро не
может обладать ключевым свойством. В невырожденном случае функция Я0 не
зависит от х (см. лемму 1 из § 1).
Теорема 2. Предположим, что невозмущенная система невырождена. Пусть dH0
ф 0, ш ф 0 в некоторой точке у° G Rm, и в любой ее окрестности U
множество Пуанкаре Pi является ключевым для класса функций CU(U). Тогда
при (х, у) € Т" х D векторное поле (3.1) отличается от поля (1.1)
множителем ?Е = ?о + + e?i + • • •) где ?г - аналитические функции от Н.
Доказательство. Согласно леммам 1 и 2, щ = ?ой>, где ?0 - аналитическая
функция от у. Так как = 0, то &-
интеграл невозмущенной системы (1.1) (см. § 3 гл. II). По лемме 1 из § 1
функции ?о и Щ зависимы в точках множества Pi Г) D\ в силу ключевого
свойства этого множества они зависимы всюду. В малой области нет
критических точек функции Но, поэтому по теореме о неявной функции в этой
области ?о = Фо(Яо)> где Фо - некоторая аналитическая функция (см. п. 1 §
1). Следовательно, векторное поле <цЕ = (щ - Фо(Я)г>Е)/е снова будет
аналитическим полем симметрий. Аналогично щ = $i(Но)щ и т. д. В
результате имеем иЕ = Ф(Я, е)г>Е, где Ф = Ф0 + еФ1 + ... Теорема
доказана.
Сделаем ряд замечаний.
1. В предположениях теоремы 2 система уравнений (1.1) не допускает
нетривиальных полей симметрий щ = щ + ещ + ... с однозначными
коэффициентами, аналитическими во всей области D х Тп.
2. Нигде не предполагалась сходимость фигурировавших выше степенных рядов
по е, так что в предположениях теорем 1 и 2 система (1.1) не допускает
полей симметрий в виде формальных рядов по степеням е.
3. Если множество Пуанкаре Pi всюду плотно в D, то можно утверждать
отсутствие поля симметрий щ + ?Щ + ... с гладкими в области D х Т"
коэффициентами.
7 Козлов В. В.
193
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
3. Применим результаты п. 2 к "основной проблеме динамики" по
Пуанкаре. Рассмотрим гамильтонову систему
= , Ук = ~7Г~' 1 ^ к ^ п' (3-8)
оук охк
с аналитическим и 27г-периодическим по х гамильтонианом Н = - Н0(у) +
?Hi(x, у) + ¦ •¦ Пусть v€ - векторное поле (3.8), а иЕ - поле симметрий
вида (3.1).
Теорема 3. Предположим, что у0 -некритическая точка функции Но, и в этой
точке
д2Н0
det
ду
ф 0. (3.9)
Предположим также, что в любой малой окрестности U точки у0 множество
Пуанкаре Pi является ключевым для класса функций CU(U). Тогда в области
(/ х Т" С К" х Т" справедливо равенство uz = Ф (Н, e)vE, где Ф -некоторая
аналитическая функция.
Действительно, согласно (3.9), невозмущенная система (3.8) невырождена.
Далее, вектор частот ш = дНо/ду отличен от нуля в точке у = у0. Остается
воспользоваться теоремой 2.
Этот результат усиливает теорему 3 из § 1, которая при тех же
предположениях гарантирует отсутствие дополнительного аналитического
интеграла, независимого от интеграла энергии. Действительно, как было
отмечено в § 3 гл. II, каждый интеграл уравнений Гамильтона порождает
гамильтоново поле симметрий. Более того, полям симметрий могут отвечать
многозначные интегралы (напомним, что под многозначной функцией на М мы
понимаем замкнутую 1-форму ip: локально ip = dF, где F - функция на М).
Из этого замечания и теоремы 3 вытекает
Следствие. В предположениях теоремы 3 гамильтонова система (3.8) не имеет
независимого от Н формального интеграла Y,Fr{x,y)er с многозначными в Т"
х 1" коэффициентами.
4. Теорема 3 применима ко многим задачам гамильтоновой механики. Так,
например, плоская ограниченная круговая задача трех тел не допускает
нетривиальной группы симметрий в виде ряда по степеням малого параметра ц
с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами (ср. с п. 1 § 2; параметр ц
равен отношению массы Юпитера к массе Солнца).
В качестве еще одного примера рассмотрим задачу о вращениях тяжелого
несимметричного твердого тела, у которого центр масс находится вблизи
точки подвеса (см. п. 2 § 2). Эта система с тремя степенями свободы имеет
два гамильтоновых поля
194
§' Jf.. Обратимые системы с торическим пространством
симметрий - vE и щ\ поле vE отвечает интегралу энергии, а иЕ- интегралу
момента (щ на самом деле не зависит от малого параметра Пуанкаре). С
помощью результатов п. 2 § 2 и теоремы 3 можно показать, что уравнения
Гамильтона рассматриваемой задачи не допускают еще одного поля симметрий
wE, независимого с полями щи vE, коммутирующего с полем щ ([щ, тЕ\ = 0) и
аналитического по фазовым переменным и параметру е. Отметим одно из
следствий этого результата: уравнения вращения несимметричного твердого
тела, у которого центр масс не совпадает с точкой подвеса, не допускают
полиномиального по скоростям интеграла с многозначными на группе SO{3)
коэффициентами, независимого от интегралов энергии и момента и
коммутирующего с последним. Отметим, что на группе SO(3) имеются
неоднозначные функции (ввиду неодносвязности SO(3)). На самом деле эти
