Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
Аналогично доказывается, что при выполнении (10.4) корректно определены
аналитические функции Sk(J,<p) {к ^ 1). Но для обеспечения сходимости
ряда
нужны дополнительные предположения.
Введем множество = {ш € : |(m,u>)| > p/\m\n+1, m ф
0},
где - некоторая ограниченная область в пространстве частот ш = (оц,...
,шп). Можно показать, что при малых р мера Лебега дополнения {Г2 \ не
превышает величины порядка р. Пусть Ад - прообраз множества при
отображении J -> dH0/dJ.
А. Н. Колмогоров [109] доказал, что при малых е ряд (10.5) сходится для
всех J ? Ад при фиксированном р. Доказательство теоремы Колмогорова
использует процедуру последовательных приближений ньютоновского типа,
впервые предложенную С. Нью-комом в небесной механике; прямое
доказательство сходимости, основанное на оценке коэффициентов, пока не
найдено.
Соотношения Ik = dS/dipk (l ^ к ^ n, S(J, tp,e) = $k{J, Ф)?к,
J € AM) задают n-мерные инвариантные торы возмущенной гамильтоновой
системы с "сильно" несоизмеримыми частотами. Эти торы называются
колмогоровскими; они аналитически зависят от г. Колмогоровские торы
являются 7г-мерными инвариантными лагранжевыми многообразиями, поскольку
ковекторное поле I = dS/др потенциально (см. п. 3 § 2).
Различные варианты теоремы Колмогорова о сохранении условно-периодических
движений получены В. И. Арнольдом и Ю. Мозером. Обзор результатов теории
КАМ (Колмогорова-Арнольда- Мозера) содержится в книге [12, гл. 5].
3. Теорема 1. Пусть уравнения (10.1) имеют такие п первых
аналитических интегралов F, : D х Тп х (-х. х) -+ М, что:
1) при всех значениях е функции Г), Fn находятся в инво-
(10.5)
люции;
2) Fi(I,<p, 0) = /,(/) (U"4n);
124
§ 10. Теория возмущений
d(fu- ¦Jn)
d(Iu- .,/")
отличен от нуля в области D.
3) якобиан det
Тогда на множестве GxT"x (-a, а), где G - компактная подобласть D, а
мало, существует аналитическая производящая функция S(J,ip,e),
удовлетворяющая условиям 1)-3) из п. 1.
Если уравнения (10.1) имеют интегралы, формально аналитические по ?
(формальные ряды по степеням ? с аналитическими в D х Т" коэффициентами)
и удовлетворяющие условиям теоремы, то можно (по крайней мере формально)
построить ряды теории возмущений, определенные при (J, <р) G D х Тп.
Докажем это.
Пусть F,= /.,(/) + ^ ekFsk{I, <р)¦ Рассмотрим систему уравнений
К f = /.,(J) + ^V/a;t(J) , 1 ^ а ^ п , (10.6)
пока с неизвестными аналитическими функциями : Z) -> R. При ? = 0
уравнения (10.6) будут выполнены, если положить S0 =
= Jip. Так как Fs(I,ip,0) = /.,(/) и якобиан det
не
равен нулю, то при заданных определен формальный ряд
+ + •" > (10-7)
удовлетворяющий (10.6). Утверждается, что дифференциальная форма /(</?,
f) dtp = (dS/dp)dp точна. Для доказательства потребуется простая
Лемма. Пусть в М2п - {р, q} задана система уравнений F"{PiQ) = с* (1 ^
^ п), и ps = fa(q,ci,...,cn)-ее решение.
Если функции Fi,... ,Fn коммутируют (в стандартной симплек-тической
структуре Е2п), то при фиксированных значениях с = = (cj,..., с") форма
/.,(<?, с) dqs - полный дифференциал.
Доказательство леммы. Функции Gs = = ps - fs{q, Fi,..., Fn), очевидно,
постоянны. Так как функции Fu...,Fn коммутируют, то {Gs,Gm} = dfm/dqs -
dfjdqm = 0, что и требовалось доказать.
При произвольном выборе fsk{J) функции S\(J. <р) будут многозначны на Тп;
это можно устранить, подбирая нужным образом fsk¦ Пусть сначала к - 1. Из
уравнения (10.6) получим, что
'125
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
Если положить /sl = I Fe\(J,ip)dnip, то из (10.8)
получим
(2ж)п J'j'n
периодическое решение Si. При к ^ 1 для определения S* и будем иметь
уравнение вида (10.8), в правую часть которого входят функции S,n И fsm
(т < к), которые уже известны.
В новых канонических переменных J, ф функции Е\,..., Fn зависят лишь от J
и ?. Эти функции - первые интегралы гамильтоновой системы (10.1) и
независимы, поэтому то же самое справедливо для Ji,...,Jn. Следовательно,
функция Гамильтона Н не зависит от углов ф, т. е. дН/дф - -J = 0. Теорема
доказана.
§ 11. Нормальные формы
дН
1. Рассмотрим гамильтонову систему i = J--, л = (p,q) €
oz
Е М2п, в окрестности точки z = 0. Пусть вещественно-
аналитическая функция Н представлена сходящимся степенным рядом от z,
начинающимся с членов второго порядка: Н = ^ /Д. Точка z = 0 является,
очевидно, положением равновесия. к^2
Собственные значения линеаризованной системы i = J-rr~ мо-
az
гут быть четырех типов: вещественные пары (а, -а), а ф 0; чисто мнимые
пары (ib, - ib), b ф 0; четверки (±а±гЬ), а ф 0, Ъ ф 0; кратные нулевые
числа (см., например, [12, гл. 7]). В первом и третьем случаях равновесие
z = 0 заведомо неустойчиво. Рассмотрим случай, когда собственные значения
линеаризованной системы чисто мнимы и различны. Известно [230], что тогда
существует линейное каноническое преобразование координат p,q -> х,у,
приводящее квадратичную форму Н2 к виду
^^аДх2 + у2) . (11.1)
Собственными числами являются Фгац,..., ±гап.
