Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
которых-суммы конечного числа вещественных экспонент от линейных
комбинаций Y скхк (Ск = const).
Обсудим вопрос о представимости в матричной форме (8.2) дифференциальных
уравнений Гамильтона с гамильтонианом
П
Н = ^ Y у] + Y, V{xi ~ х)) ¦ Эти уравнения описывают динамику
! = 1 i<j
п частиц на прямой, попарно взаимодействующих между собой.
108
§ 8. Представление Гейзенберга
Следуя Мозеру, будем искать представление (8.2) с матрицами
У\ а(хх - х2) ¦ ¦ &{хх - хп)
ь = а(х2 - xi) У2 ¦ ot{x2 - хп)
а{хп - хх) а{хп - х2) ¦ Уп
А
Е У(ъ ~ xi) P{x\ - x2) p{xx-xn)
f3(x2 - хх) T,V(Xj~X2) • P(x2 - xn)
№
ft{xn ^l) (3{xn - x2) /^ V{x3 xn)
Функция а предполагается нечетной. Искомое представление возможно в том и
только том случае, когда (3 = а' и a'{y)a(z) - - a(y)a'(z) = а(у-\-
z)\V(y) - V(z)}. Это функциональное уравнение решено в работах Ф.
Калоджеро, М. А. Ольшанецкого и А. М. Пе-реломова, С. И. Пидкуйко и А. М.
Степина (1976 г.). Оказывается,
У = -а"/{2а) , а функция a(z) совпадает с одной из следующих:
acth(az) , ash l{az) ,
actg(az) , a sin-1 (az) ,
cn(az) dn(az) a
Q -; x , а , ч , , s
sn(az) sn(az) sn(az)
(8.9)
I
II
III
IV
Здесь sn, cn и dn - эллиптические функции Якоби. Замена параметра а на га
переводит функции типа II в функции типа III, а предельный переход а -> 0
переводит функции типа II и III в функцию типа I.
Пусть функция а имеет тип IV и а = 1. Тогда формула (8.9) дает p-функцию
Вейерштрасса:
p{z) - - +
1
1
(z - 2тш - 2пи>')2 (2 miv + 2 пи')2
(здесь и далее знак Y/! означает суммирование по всем целым т и п, не
равным одновременно нулю). Эта функция - эллипти-
109
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
ческая с парой периодов 2ш и 2а/. Инварианты р-функции <72 = = 60^/(2то;
+ 2по/)"4 и дз = 140^У(2тсц + 2nw')~6 связаны с модулем к функций Якоби
соотношениями <72 = §(А;4 - к2 + 1), д3= $f(2k6 - 21 Аг4 - 21к2 + 2).
§ 9. Алгебраически интегрируемые системы
1. Во многих проинтегрированных задачах гамильтоновой механики решения
можно продолжить на плоскость комплексного времени до мероморфных
функций. Более того, общее решение выражается с помощью абелевых
функций*). В старых учебниках по теоретической механике основное внимание
уделялось интегрируемым задачам, решаемым в эллиптических функциях
времени (см., например, [163]).
Прежде чем дать общие определения, рассмотрим поучительный пример. Речь
пойдет об уравнениях Эйлера, описывающих свободное вращение твердого тела
с неподвижной точкой:
/1*1 + (/3 - 12)0)20)3 = 0 ,
/2Ф2 + (h - /3)023021 = 0 , (9.1)
1-зйз + {h - 1\)о)\0)2 = 0 .
Эти уравнения имеют два полиномиальных интеграла:
1\о)2 -|- /2^2 "1~ hojj - J д? , ^\о)\ -}- /2^2 ^з^з ~ ^ д^ • (9.2)
Здесь J, д - постоянные интегрирования.
В типичной ситуации поверхности (9.2) (как вещественные поверхности в К3
= {сс}) пересекаются по двум замкнутым кривым. Рассмотрим теперь
комплексификацию К3, считая 02/t комплексными переменными. Оказывается,
система алгебраических уравнений (9.2) определяет в С3 эллиптическую
кривую с некоторыми выколотыми точками. Чтобы это показать, выпишем общее
реше-
*) "В мои студенческие годы во время первой мировой войны абелевы функции
(под влиянием унаследованных от Якоби традиций) считались неоспоримой
вершиной математики. Каждый из нас, естественно, испытывал честолюбивое
стремление самостоятельно продвинуться в этой области. А теперь? Молодое
поколение вряд ли вообще знакомо с абелевыми функциями." (Клейн Ф. Лекции
о развитии математики в XIX столетии. М. -Л.: ОНТИ. 1937).
110
§ 9. Алгебраически интегрируемые системы
ние системы (9.1) с помощью эллиптических функций Якоби:
равны ±1; к-модуль эллиптических функций. Формулы
(9.3) дают параметрическое представление комплексных кривых
(9.2). В силу двойной периодичности, параметр т принимает значения на
двумерном вещественном торе. Однако кривая (9.2) не диффеоморфна (в
вещественном смысле) двумерному тору из-за наличия полюсов у
эллиптических функций (9.3).
Хорошо известно, что между любыми двумя эллиптическими функциями f\ и /г
с одинаковыми периодами существует соотношение вида Ф(/1,/г) = 0, где Ф-
некоторый многочлен от двух переменных. Например, функция Вейерштрасса р
и ее производная р' (имеющая, очевидно, те же периоды) связаны
алгебраическим уравнением (р')2 - 4р3 + д2р + <7з - 9, где <72, Зз -
инварианты p-функции. Более общо, любые т ^ 2 эллиптических функций с
одинаковыми периодами связаны т - 1 алгебраическим соотношением. Примером
служат уравнения (9.2) для эллиптических функций (9.3).
Уравнения Эйлера (9:1) являются гамильтоновыми (см. § 2 гл. 1):
симплектическая структура задается скобкой Ли - Пуассона {huii, /2^2} =
/3^3, ..., а гамильтонианом служит кинетическая энергия тела. Однако
скобка вырождена: квадрат момента F - ХХ-^г)2 коммутирует со всеми
функциями на алгебре so(3) (такие функции называются еще функциями
Казимира). Как отмечалось в § 2 гл. 1, вырождение снимается ограничением
