Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике" -> 49

Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.

Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике — Ижевск, 1995. — 432 c.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка): simmetriitopologiiirezonansa1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 172 >> Следующая

(9.27) становятся автономными (dx/dr - tx), и поэтому к ним можно
применить известную теорему Ляпунова о разложении решений в сходящиеся
ряды по степеням малых параметров ?i,...,e" (см. [120, гл. II]): х,(т) =
00 , .4 / .4
= Y . . . ?(tm)"e(miPi + -+m"P")T) где Хт -многочлены от т
|ш| = 1
с постоянными коэффициентами. Переходя к старой переменной времени t,
получим разложения
(Х>
*.•(0 = Е • • • ?п" , (9.28)
H=i
где Х$ - многочлены от In t.
Пусть 7 - непрерывная кривая в ограниченной области комплексной
плоскости, не содержащая точки t = 0. Согласно резуль-
121
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
татам [120, гл. II], ряды (9.28) сходятся при всех е = (ei, из
малой окрестности нуля в Сп = {е}, когда t принадлежит малой окрестности
кривой 7. Если 7 имеет самопересечения (например, 7 - замкнутый контур в
С), то формулы (9.28) задают аналитическое продолжение функций х,(?)
вдоль 7. Ясно, что если не все числа pi,...,pn целые, то функции x,(f), а
вместе с ними и функции Z{(t), ветвятся при обходе точки t - 0. Если же
все р, целые, но матрица К не приводится к диагональной, то функции x(t)
и z(t)
также ветвятся: в этом случае многочлены Хт (|m| = 1) содержат
нетривиальные слагаемые с Inf. Теорема доказана.
Матрица К и условие целочисленности ее собственных значений впервые
появились в работах Ковалевской по динамике тяжелого твердого тела [73].
Иошида предложил назвать числа pi,... ,рп показателями Ковалевской. Если
решения (9.28) мероморфны и ряды (9.28) бесконечны, то р, ^ 0.
Исследования Ковалевской были дополнены и усилены Ляпуновым [118],
показавшим, что решения уравнений Эйлера - Пуассона ветвятся во всех
случая, исключая интегрируемые задачи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской.
§ 10. Теория возмущений
1. Пусть множество М - D х Тп, где Tn = {<р mod 27т}, D - область в Rn
= {/}, снабжено стандартной симплектической структурой. Пусть H(I,ip,s) :
М х (-е0,?о) -1' R - такая аналитическая функция, что H(I,ip,0) = Но(1)¦
Канонические уравнения с гамильтонианом Но немедленно интегрируются: / =
-дНо/д'р = 0,
ф = дНо/д1 = I = /°, <р = <р° + u(I°)t.
Согласно А. Пуанкаре, исследование полной системы
i = ?jj; я = я0(/) + ?я1(/,<р) + ... (юл)
при малых значениях параметра е является основной проблемой динамики
[146, п. 13].
Идея классической теории возмущений состоит в следующем: ищется такое
аналитически зависящее от параметра е каноническое преобразование /,<р ->
1,ф: I = dS/dip, ф = dS/dJ, S(J, <р, е) = = So + eSi + ..., что
1) So = J'P (оно мало отличается от тождественного);
2) функции Sk{J,<p) 27г-периодичны по <р при всех к ^ 1;
3) в новых переменных Я = K(J,e).
Следовательно, любая 27г-периодическая по <р функция /(/, <р, е) в новых
канонических переменных 1,ф будет 27г-периодична по ф.
122
§ 10. Теория возмущений
Если такое преобразование удается найти, то уравнения Гамильтона (10.1)
будут полностью проинтегрированы. При этом п функций Js = Je(I,(p,s),
0) = Is (1 ^ s ^ п) составят пол-
ный набор независимых интегралов в инволюции.
2. Функция Si(J,<p) удовлетворяет уравнению
<10-2>
где K\(J) - пока неизвестная функция. Разложим "возмущающую" функцию Hi в
кратный ряд Фурье: Н^) exp г(т, ip).
т€ Z"
Если уравнение (10.2) имеет решение, периодическое по <р,
то
f Hi(J'T)dnV- Пусть Si = Sm(J) exp i(m,tp).
Тогда
Sm(J) = • (Ю.З)
В дальнейшем анализе важную роль играет вековое множество В С D -
множество точек J € D, для которых
Е
тф 0
Hm(J)
оо
В частности, множеству В принадлежат точки J 6 D, для которых (m,u>(J)) =
0, гл. ф 0 и Hm(J) ф 0*). Согласно неравенству Бесселя Y $т < со,
производящая функция Si не определена на множестве
т
В X Т" С D X Тп.
По существу, вековое множество - это множество тех торов невозмущенной
интегрируемой задачи, которые распадаются при добавлении возмущения
порядка е. В типичной ситуации В всюду плотно в D] с этим связана хорошо
известная трудность - появление "малых делителей", препятствующих не
только сходимости, но даже формальному построению рядов классической
схемы теории возмущений.
Из теории диофантовых приближений известно, что для почти всех наборов
частот ш = (од,... ,шп) 6 Rn справедлива оценка
\(т,ш)\ ^ /i/|m|n+1 (10.4)
*) В небесной механике принята следующая терминология: коэффициент Фурье
Нпцстановится вековым, если .7i,..., ./" принимают значения, при которых
miu>i(J) + ... + mnuin(J) = 0.
123
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
при всех т € Zn, т ф 0, где р - положительная постоянная, зависящая от ш.
Пусть ш = dH0/dJ и функция Гамильтона Н0 невырождена; тогда оценка (10.4)
верна для почти всех J. Известно, что коэффициенты Фурье аналитической
функции экспоненциально быстро убывают при |ш| -> оо. Пусть J таково, что
для всех т ф 0 выполнено (10.4); при этом, согласно (10.3), коэффициенты
Sm(J) также экспоненциально быстро убывают. Поэтому для таких значений J
функция S\(J,<p) будет аналитической периодической функцией от <р.
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed