Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
второго порядка, а во втором - два полюса первого порядка, в которых
вычеты отличаются знаками. Поэтому ввиду периодичности при п = 2 имеется
лишь одно семейство мероморфных решений, а при п = 3 таких семейств ровно
два.
Эти наблюдения обобщаются на случай произвольной системы дифференциальных
уравнений в С" = {z} с полиномиальными правыми частями. Подставляя
формальные ряды Лорана вида (9.18) в уравнения и приравнивая коэффициекты
при одинаковых степенях t, можно, во-первых, найти ограничения на
кратности полюсов kj, и во-вторых, получить бесконечную цепочку
полиномиальных уравнений на коэффициенты рядов Лорана zjP', в каждое из
которых будет входить лишь конечное число неизвестных коэффициентов.
Совокупность всех этих полиномиальных уравнений выделит в
бесконечномерном пространстве коэффициентов формальных рядов Лорана
некоторое алгебраическое множество. Ввиду автономности рассматриваемой
системы дифференциальных уравнений, его размерность не превосходит п- 1.
Числом Ковалевской к полиномиальной системы дифференциальных уравнений
назовем количество связных компонент этого алгебраического множества,
каждая из которых имеет размерность п-1. Числа Ковалевской - простейшие
топологические инварианты аналитических систем дифференциальных
уравнений. Можно рассматривать и более тонкие инварианты построенного
выше алгебраического множества (например, группы гомологий). Отметим, что
некоторые его связные компоненты могут иметь комплексную коразмерность 2
или больше.
При к = 0 общее решение исходной системы дифференциальных уравнений не
может быть мероморфным. В частности, в этом случае гамильтонова система
(9.11) не является алгебраически вполне интегрируемой. На этом простом
замечании основан метод Ковалевской распознавания алгебраически
интегрируемых систем дифференциальных уравнений, впервые примененный ею к
уравнениям вращения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой [73].
Оказалось, что в этой задаче к ф 0 лишь в интегрируемых случаях Эйлера,
Лагранжа и Ковалевской. Метод Ковалевской с успехом используется для
отыскания новых интегрируемых задач классической механики и
математической физики.
119
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
5. В приложениях часто встречаются дифференциальные уравнения с
полиномиальными правыми частями
Zi = fi(z 1, • • •, Zn) , 1 ^ i ^ п , (9.22)
инвариантные относительно преобразований подобия
t -* t/a , z\ -> ol9iz\ , ... , zn -* a9*zn (9.23)
с целыми положительными gj. Критерий инвариантности уравнений (9.22)
заключается в выполнении соотношений
fi(a9izu..., а9пzn) = a9i+1fi(zi,..., zn) . . (9.24)
Например, если /, - однородные многочлены степени т > 1, то в (9.23)
можно положить д\ = ... = дп = д. Но тогда, ввиду
(9.24), д - 1 /(т - 1), что является целым лишь при т - 2. Итак,
уравнения с квадратичными правыми частями допускают группу подобий вида
(9.23). Важным примером служат уравнения Эйлера- Пуанкаре на алгебрах Ли.
Более сложный пример доставляют уравнения (9.15): они допускают группу t
-> t/a, гц -> era*, Vk -> a2Vk- Сходный пример - уравнения Эйлера-
Пуассона, описывающие вращение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной
точки.
Для "квазиоднородных" уравнений (9.22) задача об однозначности общего
решения может быть практически доведена до конца. Мы воспроизведем здесь
анализ уравнений (9.22), выполненный в работе X. Иошиды [236] по методу
Ковалевской. Сначала заметим, что система (9.22) допускает частные
решения вида
Z\ = cx/t91 , ... , zn = cn/t9" , (9.25)
где постоянные сд, удовлетворяют алгебраической системе уравнений
/,(ci,... ,cn) = - giCi (1 ^ i ^ ?1). Эти уравнения, как правило, имеют
ненулевые комплексные корни.
Общее решение системы (9.22) ищем в виде г,- = (с, -f Xi)t~9i (1 ^ г ^
п). Выпишем уравнения для новых переменных т,-. Во-первых, мы имеем
- (Xit 9')=-(Zi-at э') =
= fi ((ci + х1)Гт,...,(сп + хп)Г9") - fi (ciH1,...,c"r9") =
_ dfi
<9m'zi d"
H>2
•4
z=ct-°
- E miW
t (9.26)
120
§ 9. Алгебраически интегрируемые системы
Здесь \т\ = Ymr Дифференцируя (9.24) по Zj и полагая а *= 1/t, = с,-,
получим t~9j -1-(ct~9) = ?_Si_1^-(c), и, более общо,
^mi + ... + mny
>т1г1...ат";
В итоге уравнения (9.26) принимают вид
1 ...Т1ЧП ¦
____________"J (W-S') = f-a-1 гЛО
...d(tm)"zn 1 } mi-m-
Qm,+...+m. г.
Zf(i) = ----------------- (с)
т'-т" d^Zl...d^ZnK4
tii - KijXj + Kml...mnX 1 * ¦ ¦ • Хп " > (9.27)
J=1 |m|=2
Kij = (с) + gj6{j ,
где -символ Кронекера. Пусть pi,...,pn- собственные числа матрицы К.
Напомним, что преобразованием подобия К -> -> С"1 КС матрица К
приводится к диагональной матрице
diag[pb ..., р"] в том и только том случае, когда все ее собственные
числа pi имеют простые элементарные делители.
Теорема Ляпунова. Если решения системы (9.22) являются однозначными
функциями комплексного времени, то:
1) Pi € Ъ для всех г;
2) pi,..., рп имеют простые элементарные делители.
Для доказательства заметим, что после замены времени т = = In t уравнения
