Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике" -> 51

Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.

Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике — Ижевск, 1995. — 432 c.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка): simmetriitopologiiirezonansa1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 172 >> Следующая

Теорема 1 (Дж. Биркгоф). Если ац,... ,а" независимы над полем
рациональных чисел, то существует формальное каноническое преобразование
х, у -> т\, задаваемое формальными степенными рядами
X = u(t, 77) = ?+ ... , y=v(?,T)) = ri+..., (11.2)
которое переводит Н(х,у) в гамильтониан К(р) -формальный степенной ряд от
ра = ?2 + Л2-
Если ряды (11.2) сходятся, то уравнения с функцией Гамильтона II можно
просто проинтегрировать. Действительно, функции
126
§ 11. Нормальные формы
pi,...,pn- сходящиеся степенные ряды по х,у - образуют полный набор
независимых интегралов в инволюции. Из канонических уравнений = С1вг]в,
77, = -= 2 дК/дрв следует, что ?,(?) и r]e(t) являются линейными
комбинациями sin Qet и cosQet. Следовательно, исходные координаты х и у
суть условно-периодические функции времени с частотами fii,..., Г2". В
частности, равновесие z - 0 устойчиво.
Следствие. Если а\,..., ап рационально несоизмеримы, то уравнения
Гамильтона допускают п инволютивных формальных интегралов следующего
вида:
Р.* = + У в + (члены порядка ^ 3), 1 ^ s ^ n . (И-З)
Ряды (11.3) получаются из функций Св+Лв с помощью формальной канонической
замены (11.2). Любой формально аналитический интеграл уравнений
Гамильтона является степенным рядом от п интегралов (11.3).
Действительно, в новых переменных ?,77 этот интеграл зависит лишь от
р\,... ,рп.
Теорема 2. Если система с гамильтонианом Н = /Д имеет л аналитических
интегралов в инволюции
Gm 2 ^ 1 ^ms{p^s Т Vs) Т ^ 1 Ermk > 1 ^ ТП ^ 71,
а 2
и det ||>fma || ф 0, то преобразование Биркгофа (11.2) сходится.
Этот результат показывает, почему мы (следуя Биркгофу) называем
интегрируемыми гамильтоновы системы со сходящимся преобразованием
Биркгофа. Оставляя обсуждение вопроса сходимости до гл. VI, укажем, что
ряды Биркгофа, как правило, расходятся. Теорема 2 сначала была доказана
Рюссманом [228] для п = 2, а затем Веем [234] в многомерном случае.
Теорема Рюссмана-Вея обобщена в работе X. Ито [206].
Теорема 3. Предположим, что числа ai,...,a" рационально несоизмеримы и в
окрестности точки z = 0 гамильтонова система имеет п аналитических
интегралов G\ = Н, G2,. ¦ ¦, Gn, независимых почти всюду. Тогда найдется
такое аналитическое каноническое преобразование z = Ф(С)) С = (С Ф), что
Ф(0) = 0 и в новых переменных ( интегралы G1,..., Gn являются
аналитическими функциями от + гЦ (1 ^ s 71).
Подчеркнем, что в теореме Ито квадратичные формы рядов Маклорена функций
G2, ¦ ¦ ¦ ,Gn могут оказаться вырожденными или вообще отсутствовать.
Кроме того, отсутствует предположение об инволютивности функций Gk- Дело
в том, что в предполо-
127
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
жении о нерезонансности собственных чисел он,.. ,ап любые аналитические
интегралы уравнений Гамильтона обязательно находятся в инволюции. Поэтому
в теореме 2 также можно опустить предположение об инволютивности
интегралов G
Теорема 1 допускает обобщение на случай, когда числа он,... ап
рационально зависимы. Введем в рассмотрение все целочисленные векторы j =
(ji,.. .jn). для которых (J. а) = 0. Они образуют свободную абелеву
группу Г некоторого ранга г. Если числа независимы, то, очевидно, г = 0.
Выполним некоторую формальную каноническую замену переменных х, у -> ?,
г] вида (11.2). В новых переменных ?, у гамильтониан Н(х, у) будет
представлен некоторым формальным степенным рядом K(?,rf). Перейдем к
комплексным переменным ?" = = , С" - - Щ и разложим
К в ряд по произведениям
сЧ'-ПсК'-
S = 1
Будем говорить, что формальный ряд К(?,,г/) имеет нормальную форму, если
его разложение содержит лишь те члены Ск(\ для которых (к - 1) ? Г.
В частности, если ai,...an независимы, то в нормальной форме
гамильтониана присутствуют только члены вида (,к(,к = = (?i + ^l)*1
¦¦•(?? + ЛпУ"- РЯА ^(?>*7) имеет нормальную форму в том и
только том случае, когда D(K) = 0, где D =
V' (с д д
= L "М & я г1' яТ
,=1 V OT]s
Доказательство просто выводится из формулы D(QkQl) - = г(а, к - 1)(к(1.
Теорема 4. Существует такое формальное каноническое преобразование вида
(11.2), что исходный гамильтониан Н(х,у) преобразуется к нормальной
форме, т. е. D(K) = 0.
Доказательство можно найти в [130]. При Г = {0} эта теорема совпадает с
теоремой Биркгофа.
Покажем, что в рассматриваемом случае можно указать п - г коммутирующих
независимых формальных интегралов вида G = - 5 &(?* + r7")i гДе
вектор /3 - (J3\,... /Зп) ортогонален всем векто-
(d d \
VSTTT ] = 0,
07h ОС, )
если Д_1_Г. Так как rank Г = г, то можно найти п-г таких линейно
независимых векторов Д.
128
§ 11. Нормальные формы
В качестве примера рассмотрим гамильтонову систему Хено-на - Хейлеса,
гамильтониан которой равен Н = ? (у\ + у\ + х\ + + х\ + 2х\х2 - fa^)- В
этой задаче п = 2 и оц = а2 - 1. Группа Г определяется равенством j\ + j2
= 0; rank Г = 1. Чтобы получить интеграл, независимый от Я, положим (3\ =
(32 = Г Тогда G = - (?f + гЦ + ?2 + Яг)/2- Если Н преобразовать к
нормальной форме по теореме 3, то К = + иЦ + (2 + V2) + • • •
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed