Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике" -> 45

Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.

Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике — Ижевск, 1995. — 432 c.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка): simmetriitopologiiirezonansa1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 172 >> Следующая

динамической системы (9.1) на интегральную поверхность F = const > 0.
С точки зрения геометрического варианта теоремы Лиувилля о вполне
интегрируемых системах (см. § 4), уравнения (9.2) задают именно
одномерные инвариантные торы, причем угловая координата и = т/(2К) mod 2я
(К - полный эллиптический интеграл) на этих торах равномерно меняется со
временем. Как указывают
(9.3)
где т - р
ill
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
формулы (9.3), фазовые переменные Wk -эллиптические функции от угловой
координаты и.
2. Дадим необходимый для дальнейшего изложения краткий обзор теории
абелевых функций (подробности можно найти, например, в [52, 125]).
Рассмотрим m-мерное комплексное пространство Ст с координатами (z\,...
,zm) = z. Напомним, что функция F(z) называется мероморфной, если ее
можно представить в виде отношения f(z)/g(z), где /, д - целые функции
(представимые сходящимися степенными рядами во всем Ст). Если д(а) = 0 и
f(a) ^ 0, то точка а € Ст называется полюсом функции F. Отметим, что при
т ^ 1 полюсы (как и нули) не являются изолированными точками. Если f(a) =
д(а) = 0 и не существует предела F(z) при z -> о, то точка z = а
называется точкой неопределенности мероморфной функции F. Точки
неопределенности могут быть лишь при т ^ 2 (при т - 2 они изолированы).
Вот простой пример: у рациональной функции F = z\/z2 начало координат -
Точка неопределенности.
Абелевой функцией F называется мероморфная функция в Ст, обладающая 2т
линейно независимыми (над полем К) периодами а/1),..., и;(2т); F(z +
= F(z) для всех z 6 Ст и j = 1,..., 2т.
Абелевы функции одного комплексного переменного - это в точности
эллиптические функции. Согласно теореме Вейерштрас-са - Пуанкаре, между
любыми т + 1 абелевыми функциями с одинаковыми периодами всегда
существует алгебраическое соотношение.
Матрицы периодов абелевых функций
...........J2 т)
. ,(1) (2т)
ил ... ил
ЧЛл • • • 0)т
называются римановыми матрицами. Далеко не каждая матрица размера т х 2т
является римановой. Для этого необходимо и достаточно, чтобы существовала
такая кососимметрическая невырожденная целочисленная матрица N порядка
2т, что:
1) WNWT = 0;
2) матрица iWNWT задает положительно определенную эрмитову форму.
Пусть Г - решетка в Ст, порожденная векторами векторь решетки имеют вид
kiu>^ +... -f , kj G Z . (9 4)
Ясно, что Г - группа по сложению. Полезно ввести факторпрост-ранство Ст
по решетке Г, отождествив точки Ст, отличающиеся
112
§ 9. Алгебраически интегрируемые системы
на векторы вида (9.4); получим 2ш-мерный тор Т2т. Такие торы называются
абелевыми. Можно сказать, что абелевы функции - это мероморфные функции
на Т2т.
Оказывается, с каждой компактной римановой поверхностью рода т
естественным образом связано поле абелевых функций от т комплексных
переменных. Напомним, что риманова поверхность X - это двумерное
многообразие, покрытое комплексными картами, причем переход от карты к
карте является голоморфным отображением. Простейший пример компактной
римановой поверхности - двумерный тор (факторпространство комплексной
плоскости по двумерной решетке). Ее род равен единице.
В приложениях часто встречаются римановы поверхности алгебраических
функций. Важный для нас пример - функции w(z), заданные уравнениями
w2 = P2m+l{z) или w2 = P2m+2(z) , (9-5)
где Рк - многочлен степени к без кратных корней. Функция w двузначна: при
двукратном обходе нулей многочлена Pk(z) она принимает прежнее значение;
поэтому риманова поверхность алгебраической функции w = \JP(z) двулистно
накрывает почти всю комплексную плоскость С = {г}; нули P(z) - точки
разветвления этого накрытия. Строение римановых поверхностей функций
(9.5) было известно уже самому Риману: естественная компактифика-ция
делает их диффеоморфными сфере с т ручками (т. е. это поверхности рода
т). С классических позиций результат Римана описан в книге [42];
современное изложение см. в [167].
Пусть z = х + iy - локальная координата на римановой поверхности X.
Дифференциальные 1-формы <р= adx + bdy = adz+(3dz принято называть просто
дифференциалами. Если в окрестности любой точки X дифференциал <р
записывается в виде f(z)dz, гДе / - голоморфная функция, то он называется
голоморфным дифференциалом (или абелевым дифференциалом первого рода).
Голоморфные дифференциалы образуют линейное пространство, размерность
которого совпадает с родом римановой поверхности X. Например, если X
задается первым уравнением (9.5), то дифференциалы <рк = Zk/\fP2m+\{z) dz
(1 ^ к ^ ш) являются голоморфными и линейно независимыми.
На каждой поверхности рода т можно так выбрать 2т замкнутых кривых
ai,..., am, b\,..., bm (циклов), чтобы при разрезании по этим циклам
поверхность превратилась в 4т-угольник (см. рис. 10 для т = 2).
113
Глава II.
Интегрирование гамильтоновых систем
Рис. 10
Пусть <pi,..., (рт -базис голоморфных дифференциалов на X. Они замкнуты
(dipk = 0), поэтому корректно определены их периоды:
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed