Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
Ввиду (8.6) уравнение (8.5) удовлетворяется тождественно. Подставим (8.6)
в (8.4) и приравняем коэффициенты при sin At и cos At. Получим шесть
уравнений для поиска четырех функций Ф,?, г], ?:
е; = -а+с; = о,
%У + Ч'Х = ху + Чу
о
ф" ф' _ ф" ф' + г' = _ф" ф' + ф" ф' + с' = о
ху у уу х 1 Sx IX у 1 ху х 1 S у
*
(8.8)
(8.9)
(8.10)
Из (8.8) получаем ? = Ху + const. Оказывается, достаточным условием
разрешимости систем уравнений (8.9) и (8.10) является
(8.11)
ДФ = const
77" = Ф"' .
Чух хху
где Д - оператор Лапласа. Действительно, т]ху = Фгау,
Поэтому Ф'^+Ф^ = (ДФ)(, = 0, если выполнено (8.11). Аналогично
проверяется условие разрешимости системы (8.10).
В частности, если Ф - гармоническая функция, то уравнения течения
допускают решение вида (8.6). При е = 0 будем иметь по-
тенциальное течение. Имеется много важных примеров стационарных течений
жидкости с гармонической функцией тока Ф [115].
В простейшем из них Ф =
= (Г/(27г)) 1п у/х2 + у2. Эта функция тока задает вихрь
интенсивности Г. Известно, что пара вихрей (с интенсивностями Г1 = -Г2 =
Г) движется равномерно в направлении, ортогональном соединяющему их
отрезку постоянной длины. Введем подвижную систему отсчета х,у и поместим
вихри Ti и Гг в точки с координатами (0, а) и (0, -а). Тогда функция тока
будет задана
Рис. 8
57
Глава I. Гамильтонова механика
следующей формулой [115, § 155])Ф = |-(Х + |п ^
Линии тока этой задачи изображены на рис. 8.
3. В работе Контопулоса [188], посвященной изучению галактических
моделей, рассмотрены некоторые гамильтоновы системы в окрестности
положения равновесия, допускающие резонансные соотношения между
частотами. Простейшая система такого вида с г амильтони аном
Н = - + Р2 + 9i + + ^9i92 - > (8.12)
описывающая движение звезды в галактике с цилиндрической симметрией, была
детально исследована Хеноном и Хейлесом [203] с помощью численных
расчетов. В этой задаче частоты малых колебаний равны между собой. В
работе Густавсона [199] имеется интересное обсуждение численных
результатов Хенона - Хейле-са в связи с построением формальных интегралов
гамильтоновых систем.
К системе с гамильтонианом (8.12) можно прийти другим путем, рассматривая
динамику замкнутой цепочки из трех частиц с потенциалом
Г- ctz^
т = j + ^ (8.13)
(ср. с (6.5)). Для этого в гамильтониане (6.3) с потенциалом (8.13) при п
= 3 сделаем каноническую замену переменных х = А?, у ~ ~ Аг] с
ортогональной матрицей
/ 1/ч/б 1/V2 1/у/З
А= -у/2/3 0 1/V3
\ 1/ч/б -1/ч/2 1/х/З
В новых переменных ?, у гамильтониан станет равным
Я = \{4 + 4 + 4 + зй + зй) + ^ (й& - l"l) •
Полагая щ = 0 (соглашение о неподвижности центра масс цепочки) и выполняя
преобразование подобия ?i = ---qi, ?2 = -------92)
а а
Vi = Рь = Р2) t -* t/'/З, Н -+ 6Н/а2, приходим к гамильтониану (8.12).
58
§ 9. Задача распознавания гамильтонов ости
4. Изучение однородной двухкомпонентной классической модели уравнений
Янга - Мгмлса связано с исследованием гамильтоновой системы с
гамильтонианом
Н = (р1 + р\)/2 + q\q\ (8.14)
[53, 57]. Полагая в (7.7) формально h = 0, Д = -/2 = 1/\/8 и совершая
поворот в плоскости переменных mi, m2 на угол 7г/4, приходим к
гамильтоновой системе с гамильтонианом (8.14).
§ 9. Задача распознавания гамильтоновости динамических систем
Если дифференциальные уравнения, представленные в некоторых локальных
координатах на гладком многообразии М2п, не имеют канонического вида
уравнений Гамильтона, то это еще не означает, что они не гамильтоновы:
локальные координаты могут не быть симплектическими. Приведем примеры
динамических систем, гамильтоновость которых априори не очевидна.
1. В качестве первого примера рассмотрим линейную систему с постоянными
коэффициентами
х - Ах , х € К" , (9.1)
имеющую первый интеграл/ - (Вх, х)/2, где В - невырожденный симметричный
оператор. Оказывается, если det А ф 0, то
1) (R71, П), Q(x',x") = (ВА~1х>,х")- симплектическое много-
образие;
2) векторное поле Ах - гамильтоново с гамильтонианом /.
Докажем это. Так как / - интеграл уравнений (9.1), то / = = (Вх,Ах) =
(х,ВАх) = 0. Следовательно, В А - кососимметричный оператор. Отсюда
вытекает, в свою очередь, кососимметричность оператора ВА~1. Из
невырожденности А и В следует невырожденность внешней 2-формы П. Эта
форма замкнута, как всякая внешняя форма с постоянными коэффициентами.
Осталось заметить, что ЩАх, ¦) = (ВА~х(Ах), ¦) - (Вх, ¦) - df.
2. Рассмотрим геометрическое уравнение Пуассона из динамики твердого тела
е=ехш, (9.2)
где еиш - векторы трехмерного ориентированного евклидова пространства,
причем ш - известная функция времени. Уравнение
(9.2) имеет интеграл (е, е) = с ^ 0. В динамике твердого тела вектор е
является единичным, поэтому положим с = 1. Снабдим сферу S2 = {е : (е, е)
= 1} симплектической структурой, положив ?1(х',х") = (е,х' х х"), где х'
и х" - касательные векторы к S2 в
59
Глава I. Гамильтонова механика
точке е. Форма Q - ориентированная площадь S2 - замкнута и невырождена,
