Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
исходной задачи предельным переходом:
ш\Гш\=2Ь, Щ171 + W272 = с , 7i + 7г + 7з
- 1 • (4Л1)
При 2h > с2 соотношения (4.11) высекают в шестимерном фазовом
пространстве системы (4.8), (4.10) трехмерное интегральное
Положим \/\ - c2/(2h) = v и будем считать v малым параметром. Отметим,
что уравнения (4.13) имеют смысл и при р = 0, когда происходит вырождение
многообразия Мк,с- Гамильтониан системы (4.13) представляется в виде
При и = 0 снова имеем интегрируемую задачу - математический маятник.
6. Рассмотрим задачу Кирхгофа о движении твердого тела в идеальной
жидкости в случае отсутствия в гамильтониане (3.16) "перекрестных" членов
(В = 0). При этом можно положить 2Ь = = (1(о,ш) + где I, J-положительно
определенные сим-
метричные операторы, и ввести переменные о, р = J~lv. В этих переменных
уравнения (3.14) имеют вид
По форме уравнения (4.15) имеют вид уравнений Эйлера - Пуассона задачи о
движении твердого тела в силовом поле с потенциа-
многообразие Mh,c- Положим од = \/2h, sin ?, - >/2h cos Г Пере-
менные ?, ? = uxj и 7з являются координатами на Мл]С. Нетрудно показать,
что координата ? удовлетворяет уравнению
Представим его в гамильтоновой форме:
(4.12)
Я=у + -^ (\Z2ht)sm?.
(4.13)
Я = Н0 + рН\ + о(р) , Я0 = г}2/2 + cos? , = sin? sin(\/2~ht) .
(4.14)
I Со = I(o хш+рх Jp , р = р X (О .
(4.15)
46
§ 5. Некоторые задачи небесной механики
лом (Jp,p)/2. Это наблюдение - один из вариантов уже известной нам
аналогии Стеклова (см. п. 7 § 3).
Предположим, что в некотором ортонормированном базисе матрицы операторов
I и J имеют диагональный вид с элементами на диагонали Д,Д,73 и Д, J2,
J3. Следуя п. 5, перейдем к ограниченной постановке рассматриваемой
задачи. Для этого зафиксируем значения параметров Д = Д и J3, а параметры
Д, Д и J2 заменим на <5Д, <5Д и <5Д. В уравнениях (4.15) положим затем 6
= 0, разделив предварительно на 6 обе части уравнения для изменения
переменной w3. Полученная система будет иметь первые интегралы +
ctp\ = h, uiipi + Ш2Р2 = с, р\ + р\ +
+ Рз = Р2- Здесь а = Д/Д; h,c,p = const. С помощью уравнений движения
нетрудно установить уравнения для изменения удвоенного угла "собственного
вращения" = 2 arctg(pi/p2):
В общем случае переменная и- эллиптическая функция времени, и уравнение
(4.16) имеет сложный вид. Положим hp2 = с2 + и2 и будем считать параметр
и малым. Многочлен в правой части равенства (4.17) имеет два близких к
нулю корня, между которыми принимает положительные значения. В этом
случае u(t) - = uuo(t) + о(Д, щ = - cos\\Jh + ар2 (t - to)], t0 = const.
При малых у уравнение (4.16) можно представить в виде
Это уравнение описывает колебания маятника под действием малой
вынуждающей периодической силы.
1. Рассмотрим задачу о движении точки по плоскости в гравитационном
поле п неподвижных центров. Гамильтониан этой системы с двумя степенями
свободы удобно записать с использованием комплексных чисел. Пусть z\,...,
zn - различные точки комплексной плоскости С. Функция Гамильтона задачи п
центров имеет вид
H(p,z) = |р|2/2 + V(z) , р<ЕС, zGC\{zh...,zn} , (5.1)
где V(z) = - №k/\z - ZkI -гравитационный потенциал (//* > 0).
J\ - Jo , .
-V*. (4Л6)
н
й2 - (h - аи2)(р2 - и2) -
(4.17)
§ 5. Некоторые задачи небесной механики
П
47
Глава I. Гамильтонова механика
При п = 1 и п = 2 имеем интегрируемые задачи Кеплера и Эйлера. В задаче
Кеплера дополнительным интегралом является интеграл момента, а задача
Эйлера интегрируется разделением переменных (в эллиптических
координатах). Задача Кеплера вполне интегрируема и в многомерном
евклидовом пространстве [220]. Наиболее интересный с точки зрения
релятивистской механики случай пространства Минковского рассмотрен в
работе [93]. В литературе, по-видимому, не отмечалась полная
интегрируемость многомерной задачи двух центров.
2. Предположим, что Солнце S и Юпитер J вращаются вокруг общего центра
масс по круговым орбитам. Единицы длины, времени и массы выберем так,
чтобы угловая скорость вращения, сумма масс S и J, а также гравитационная
постоянная были равны единице. Нетрудно понять, что при этом расстояние
SJ тоже равно единице.
Уравнения движения астероида А в подвижной системе координат можно
записать в виде двух уравнений:
х - 2у = -dV/dx , у + 2х = -dV/dy
(5.2)
где - V = (х2 + у2)/2 + (1 - ц)/р\ + у/р2, Р - масса Юпитера, р 1 и р2 -
расстояния от астероида А соответственно до S' и J. Уравнения (5.2) имеют
интеграл Я - (х2 + у2)/2 + V(x,y), называемый интегралом Якоби. Эти
уравнения можно представить в канонической форме: функцией Гамильтона
является полная энергия астероида А. Хорошо известно, что система (5.2)
имеет пять положений равновесия Ь\,..., Z/5, которые называются точками
либрации. Равновесия L\, Ь2,
Ьз расположенные на линии Солнце - Юпитер, обнаружены Эйлером; они всегда
неустойчивы. Оставшиеся два равновесия Ьц и L,5 (открытые Лагран-жем)
дополняют точки S и J до вершин равносторонних треугольников (рис. 4);
равновесия /-4, Ь5 устойчивы в линейном приближении, если выполнено
