Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
движения по сепаратрисам.
2. Пусть точка подвеса математического маятника длины I совершает
колебания по периодическому закону e?(t), г = const. Если х - угол
отклонения маятника от вертикали, то его кинетическая
и2 12х2 + е2?2 + 2elxt sin х энергия есть Т = - = -----------------------
----------. Потенциальная
Z Z
энергия маятника равна V = -g{l cosx + e?(t)). Уравнение Лаг-
d dL dL т ранжа - -т- = --, L = Т - V, имеет вид at ох ох
х + a>2(l + sf(t)) sina; = 0 , (4-2)
где uj2 = g/l, f = ?/д-периодическая функция времени.
Это уравнение, конечно, гамильтоново: канонические координаты суть х mod
27Г, р = х, а функция Гамильтона имеет вид
Н - р2/2 - ш2(1 + ef)cosx . (4-3)
Пространство положений - окружность S1 = {х mod 27г}, фазо-
вое пространство - цилиндр S1 х К.
При е = 0 имеем интегрируемую задачу с одной степенью свободы
(математический маятник постоянной длины).
3. Во многих задачах механики встречаются уравнения, похожие на
уравнение (4.2). Рассмотрим, например, плоские колебания спутника на
эллиптической орбите. Уравнение колебаний можно представить [16] в
следующем виде:
. d26 d6 с , ч
(1 + е cos v)-- - 2е sin и--Ь р sin о = 4е sin и . (4.4)
avz аи
43
Глава I. Гамильтонова механика
Здесь е - эксцентриситет орбиты, /1-параметр, характеризующий
распределение массы спутника. Смысл переменных 6 и н ясен из рис. 3. Это
уравнение можно представить [36] в гамильтоновой форме:
dp _ _дН_ М_дН
dv дб du др
Рис. 3
2 1 + е cos р
- 2
2(1 + е cos и) - (1 + е cos н)р cos 6 .
При движении спутника по почти круговым орбитам (е С 1) уравнение (4.4)
близко к уравнению колебаний обычного маятника.
4. Одномерное движение заряженной частицы в поле волнового пакета
описывается уравнением
Здесь т - масса частицы, е - ее заряд; сумма в правой части представляет
собой суперпозицию некоторого числа плоских волн, движущихся с разными
фазовыми скоростями Эта задача многократно обсуждалась в физической
литературе (см., например, [56, 117]).
В случае одной волны после замены z = Ах - cat уравнение (4.5) переходит
в уравнение колебаний обычного маятника: z + Q2 sin z = - О, Cl2 = еЕХ/т.
Замена х -> z эквивалентна переходу в систему отсчета, движущуюся вместе
с волной.
Если имеются две волны (к = 0 и к = 1), то уравнение (4.5) можно
представить в виде
где z = Х0х - w0t, Oq = еЕоХо/т, е = Ei/Eq, и = wx - Ai(a;0/A0). Если
безразмерный параметр е мал, то уравнение (4.6) описывает возмущенное
движение математического маятника.
(4.5)
к
(4.6)
44
§ 4¦ Колебания маятников
5. Выпишем в явном виде уравнения (3.5), описывающие вращение тяжелого
твердого тела с неподвижной точкой:
- (I2 -- 1з)ш2и>2 - е(гг7з - тууг) ,
12ш2 = Цз " h)u3^1 - е(гз7] - 7773) , (4.7)
h&3 = (^i - h)w\w2 - e(rj72 - r27i) ,
71 = 0772 - 0773 , 72 = ^17з - W371 , 73 = 0771 - 0772 . (4.8)
Уравнения (4.7), (4.8) имеют три интеграла:
1) J2/2 + е ]Г) г,-7,- - интеграл энергии;
2) - интеграл "площадей";
3) )Г) 7? = 1 - геометрическое соотношение.
В случае I\ = 12 можно, не ограничивая общности, считать, что г\ = 0. В
подходящих единицах длины и массы I\ = 12 - 1. Рассмотрим твердое тело, в
котором /3 = <5, ег2 = <5.
Прежде всего покажем, что такое тело существует. Для этого рассмотрим три
взаимно перпендикулярные оси x,y,z и разместим на оси х по разные стороны
от начала координат на единичном расстоянии две одинаковые массы <5/4;
аналогично на оси z разместим точно так же две массы (1/2 - <5/4);
наконец, на расстоянии 1/2 от начала координат поместим на оси у точки с
массами <5(l + 1 /д) и <5(1 - 1 /д), д > 1. Легко проверить, что все
условия, указанные выше, выполнены.
Исключительно для простоты рассмотрим случай 77 = 0. С учетом этих
предположений уравнения (4.7) имеют вид
07 = (1 - <5)^207 - <5уз , йз2 = (<5 - 1)^707 , о"з = 7i . (4.9)
Устремим <5 к нулю. Тогда уравнения (4.9) перейдут в следующие:
07 = 0707 , ш2 = -0707 , 07 = 7! . (4-10)
Эти уравнения вместе с уравнениями (4.8) будут замкнутой системой
уравнений ограниченной задачи о вращении тяжелого твердого тела с
неподвижной точкой.
Смысл ограниченной постановки задачи заключается в следующем. При <5 -* 0
твердое тело вырождается в прямолинейный отрезок, который вращается
вокруг неподвижной точки по закону сферического маятника. Хорошо
известная картина движения такого маятника дает ясное представление о
нутации и прецессии твердого тела. На первый взгляд может показаться, что
при <5 = 0 теряет всякий смысл задача о собственном вращении тела. Это,
однако, не так: при <5 -> 0 одновременно стремятся к нулю момент инерции
и момент силы тяжести относительно оси динамической симметрии. В пределе
получается нетривиальное уравнение для
45
Глава I. Гамильтонова механика
собственного вращения, которое изучается ниже. Отметим, что переход к
ограниченной задаче в динамике твердого тела вполне аналогичен переходу к
ограниченной задаче трех тел в небесной механике.
Выпишем интегралы системы (4.8), (4.10), получающиеся из интегралов 1)-3)
