Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
кватерниону - q (и только ему) соответствует то же самое положение тела в
IR3. Эти наблюдения восходят к Гауссу. Таким образом, переменные (х,
т?, С) € можно считать избыточными координатами в за-
даче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки.
Воспользуемся соображениями, изложенными в п. 9 § 1. Известны следующие
соотношения [163]:
W1 = 2(х? - ?х + (л - v() ,
^2 = 2(хт) - VX + - (?) , (3.6)
= 2(хС -Сх + л?- Ш ¦
Согласно (1.6), обобщенные импульсы рх^Р^Рт],Р( определяются по формулам
рх = дТ/дх - Ах, = дТ/д? - А?, pq = дТ/др - А г), р( = дТ/д( - Х(, XX +
??+ Щ + (С = 0. Из этой системы с учетом формул (3.6) можно найти:
21хшД = р(х ~ Pxt + PvC ~ P(V ,
2I2u>2f = pvX - PXV + P(Z - PfC ,
21Ли)Д = pcx - PXC + РД - Pv( ,
где / = X2 + ?2 + V2 + C2-
2'
35
Глава I. Гамильтонова механика
Следовательно, в новых переменных Х>Р*,. • • уравнения движения имеют
каноническую форму с гамильтонианом
Рассмотрим случай, когда силовое поле инвариантно относительно группы д
поворотов тела вокруг некоторой неподвижной оси I. Направляющие косинусы
этой оси относительно осей инерции обозначим 7ь72,7з- Можно показать, что
71 = ЩС - VX) , 72 = 2(?х + г)() , 7з = х2 +
С2 - - Р2 • (3.7)
Критерий инвариантности потенциала V относительно действия группы д -
постоянство проекции кинетического момента на ось I: М = ./10771 +
/202272 + 73Щ173 = const. В канонических переменных Х,Р*,... момент М
равен {р^Х~Р\С + Pij? ~Pfr?)/2- Используя этот линейный интеграл, можно
понизить число степеней свободы рассматриваемой системы на единицу.
5. Рассмотрим некоторые аспекты теории понижения порядка гамильтоновых
систем с симметрией. Пусть система уравнений Гамильтона <7, = dH/dpi, р,-
= -dH/dqi (1 ^ г ^ п) имеет линейный интеграл F = ^2fi{q)pi- Ему
естественным образом соответствует однопараметрическая группа симметрий
д* пространства положений N - фазовый поток системы уравнений
Орбиты действия группы д" - фазовые траектории этой системы - локально
выпрямляются: в окрестности неособОй точки можно так выбрать координаты
Q1,..., Qn, что dQi/ds = 0 (й ^ г ^ ^ п - 1); dQn/ds = 1. Функции С^,...,
Q4~\ - первые интегралы уравнений (3.8), a Qn{q) удовлетворяет уравнению
Так как det ||9Q/9^|| ф 0, то существует каноническое преобразование (р,
q) -+ (Р, Q) с производящей функцией S(q,P) =
Поскольку F - первый интеграл системы с гамильтонианом Н, то H(P,Q) не
зависит от Qn. Итак, при фиксированном значении
(3.8)
(3.9)
36
§ 3. Движение твердого тела
линейного интеграла F = Рп мы понизили (по крайней мере локально) порядок
исходной гамильтоновой системы. При этом переменные Q1,... ,Qn-1
"нумеруют" орбиты группы д.
Координаты Qi,... ,Qn, участвующие в понижении порядка гамильтоновой
системы, определены конечно неоднозначно: к ним можно добавить
произвольные первые интегралы уравнения (3.9). Гамильтониан пониженной
системы в общем случае зависит от выбора решения Qn уравнения (3.9). Если
же постоянная линейного интеграла F равна нулю, то функция Гамильтона
приведенной системы однозначно определена на кокасательном расслоении
локального приведенного пространства положений, точки которого являются
орбитами действия группы д. Иногда такое приведение при F - 0 можно
осуществить не только локально, но и в целом.
6. В задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой в
осесимметричном силовом поле уравнения (3.8) имеют вид
X
dM _ С
dPx 2
dM V
dpt 2
С' =
дМ = х др( 2 ' дМ ?
(3.10)
dpv
Фазовые траектории этой системы (орбиты действия группы д) устроены
достаточно просто: они являются большими кругами трехмерных сфер Sf = {х2
+ ?2 + V2 + С2 = г2} С К4. Фактормножество Sf/g (множество орбит д на
S'3) является двумерной сферой . Можно считать, что S^2 - стандартная
сфера {7^ + 72 + + 7| = г4} С К3. Действительно, функции 71,72,73,
определяемые формулами (3.7), образуют независимый набор первых
интегралов уравнений (3.10), и точки на сфере 73 + 7| + 7з = г4 взаимно
однозначно соответствуют большим кругам трехмерной сферы 53. Наше
расслоение трехмерной сферы на одномерные известно в геометрии под
названием расслоения Хопфа.
Будем считать 71,72,73 избыточными координатами приведенной системы.
Чтобы выписать ее гамильтониан, надо согласно п. 5
dip dip dip dip найти решение уравнения (3.9): + т^гХ - =
Одним из его решений является функция ip = arctg(?/x) + + arctg(r7/?).
Отметим, что любое решение этого уравнения имеет особенности в IR4.
37
Глава I. Гамильтонова механика
Канонические переменные РьР2,рз, сопряженные с переменными 71,72,73,
можно найти из системы уравнений
dp
2pi< + 2Р2Х - 2Ы + М-щ = ре ,
dp
-2pix + 2р2С - 2р3р + М- = pv ,
dip
2pi? + 2р2р + 2рзС -t- М- = р( ,
dip
-2pip + 2р2? + 2рзх + М- = рх .
С помощью этих формул нетрудно вычислить
Л^7 = ^(PfX - + Р"С - Р(Р) = ^
2(рг7з - Рз7г) +
dp &dip dip dp
+ \xd^~^ + Cdr]~r]dc
P273 - P372 M71
(3.11)
/
2 , 2 1 7i + 72
r Рз71 - Pi73 , М-у2 T P172 - P27i
I2102 ------------------1-2 : 2 ' •*за;з - r
